Un système d'équations algébriques linéaires. système homogène d'équations algébriques linéaires

À l'école, chacun d'entre nous ont étudié l'équation et, sans aucun doute, le système d'équations. Mais peu de gens savent qu'il ya plusieurs façons de les résoudre. Aujourd'hui, nous verrons exactement toutes les méthodes pour résoudre un système d'équations algébriques linéaires, qui sont composés de plus de deux équations.

histoire

Aujourd'hui, nous savons que l'art de la résolution d'équations et de leurs systèmes origine dans l'ancienne Babylone et l'Egypte. Cependant, l'égalité dans leur forme familière nous est apparu après l'apparition du signe égal « = », qui a été introduit en 1556 par l'anglais record du mathématicien. Soit dit en passant, ce symbole a été choisi pour une raison: cela signifie deux segments égaux parallèles. En effet, le meilleur exemple de l'égalité ne vient pas.

Le fondateur de lettres modernes et des symboles d'inconnu, le mathématicien français Fransua Viet. Cependant, sa désignation est sensiblement différent d'aujourd'hui. Par exemple, un carré d'un nombre inconnu il désigné par le, et le cube lettre Q (lat « quadratus ».) – (lat. « Cubus ») la lettre C. Ces symboles semblent maintenant mal à l'aise, mais il était la façon la plus intuitive pour écrire un système d'équations algébriques linéaires.

Cependant, un inconvénient dans les méthodes de solution qui a prévalu que les mathématiciens ont considéré que les racines positives. Peut-être cela est dû au fait que les valeurs négatives n'ont aucune application pratique. D'une façon ou une autre, mais le premier à être considérés comme des racines négatives ont commencé après que les mathématiques italien Niccolo Tartaglia, Raphaël et Jérôme Cardan Bombelli au 16ème siècle. Un look moderne, la principale méthode de résolution des équations du second degré (par discriminante) a été établi que dans le 17ème siècle à travers les œuvres de Descartes et Newton.

Au milieu du 18ème siècle mathématicien suisse Gabriel Cramer a trouvé une nouvelle façon de faire la solution des systèmes d'équations linéaires plus facile. Cette méthode a été nommé après lui plus tard, et à ce jour nous l'utilisons. Mais la méthode de l'intervention de Kramer un peu plus tard, mais pour l'instant, nous allons discuter des équations linéaires et leurs solutions séparément du système.

équations linéaires

équations linéaires – l'équation la plus simple avec la variable (s). Ils appartiennent à la algébrique. équations linéaires écrites sous la forme générale de la façon suivante: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + … et _n * x _n = b. La soumission de ce formulaire, nous aurons besoin dans la préparation des systèmes et des matrices sur.

Un système d'équations algébriques linéaires

La définition de ce terme est: un ensemble d'équations qui ont inconnues communes et la solution générale. En règle générale, à l'école tous résolu un système à deux ou même trois équations. Mais il existe des systèmes avec quatre composants ou plus. Voyons d'abord comment les écrire afin que plus tard il était commode de résoudre. Tout d'abord, le système d'équations algébriques linéaires sera mieux si toutes les variables sont écrites comme x avec l'indice correspondant: 1,2,3 et ainsi de suite. En second lieu , elle devrait conduire toutes les équations à la forme canonique: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + … et _n * x _n = b.

Après toutes ces étapes, nous pouvons commencer à vous dire comment trouver la solution des systèmes d'équations linéaires. Très bien pour cela viendra dans la matrice à portée de main.

matrice

Matrix – une table qui est constituée de lignes et de colonnes, et ses éléments sont à leur intersection. Cela peut être une valeur ou variable spécifique. Dans la plupart des cas, pour désigner des éléments qui sont disposés sous les indices (par exemple, un ₁₁ ou ₂₃ puits). Le premier indice indique le nombre de lignes, et la seconde – la colonne. matrices ci-dessus comme ci-dessus et tout autre élément mathématique peut effectuer diverses opérations. Ainsi, vous pouvez:

1) Soustraire et ajouter la même taille de la table.

2) multiplier la matrice à un nombre ou vecteur.

3) Transposition: transformer les lignes de la matrice dans les colonnes et les colonnes – en ligne.

4) multiplier la matrice, si le nombre de lignes est égal à l'un d'eux un nombre différent de colonnes.

Pour discuter en détail toutes ces techniques, car ils sont utiles pour nous à l'avenir. Soustraction et l'ajout de matrices est très simple. Puisque nous prenons la même matrice de taille, chaque élément d'une table est liée à tout autre élément. nous ajoutons donc (soustraire) deux de ces éléments (il est important qu'ils se trouvaient sur le même terrain dans leurs matrices). Multipliée par le nombre de matrice ou d'un vecteur on multiplie simplement chaque élément de la matrice par ce nombre (ou vecteur). Transposition – un processus très intéressant. parfois très intéressant de le voir dans la vraie vie, par exemple, lors du changement de l'orientation d'une tablette ou un téléphone. Les icônes sur le bureau est une matrice, et avec un changement de position, il est transposés et devient plus large, mais diminue en hauteur.

Examinons plus un processus tel que la multiplication de matrices. Bien qu'il nous a dit, et n'est pas utile, mais sachez qu'il est toujours utile. Multiplier deux matrices peuvent être que sous la condition que le nombre de colonnes dans une table est égale au nombre de lignes autres. Maintenant prendre une des éléments de ligne de la matrice et d'autres éléments de la colonne correspondante. Multiplier les uns aux autres et ensuite somme ( à savoir, par exemple, un produit d'éléments ₁₁ et ₁₂ et à ₁₂ b et ₂₂ b est égale à: a * b _{11 12} + ₁₂ * b et _22). Ainsi, un élément de table unique et une méthode similaire à elle est rempli plus.

Maintenant, nous pouvons commencer à envisager comment résoudre des systèmes d'équations linéaires.

gauss

Ce thème a commencé à se dérouler à l'école. Nous savons très bien le concept de « système de deux équations linéaires » et de savoir comment les résoudre. Mais si le nombre d'équations est supérieur à deux? Cela nous aidera méthode de Gauss.

Bien sûr, cette méthode est pratique à utiliser, si vous faites une matrice du système. Mais vous ne pouvez pas le convertir et de décider lui-même.

Alors, comment le résoudre par un système d'équations linéaires Gauss? D'ailleurs, même si cette méthode et qui porte son nom, mais il a découvert dans les temps anciens. Gauss a une opération réalisée avec les équations, pour finalement aboutir dans la totalité de forme échelonnée. Autrement dit, vous devez haut vers le bas (si le lieu correctement) de la première à la dernière équation faibli une inconnue. En d'autres termes, nous devons nous assurer que nous avons, disons, trois équations: la première – trois inconnues, dans le second – deux dans le troisième – un. Puis, à partir de la dernière équation, on trouve la première inconnue, substituer sa valeur dans la seconde ou la première équation, et trouver encore les deux autres variables.

La règle de Cramer

Pour le développement de cette technique est indispensable de maîtriser les compétences de l'addition, la soustraction des matrices, ainsi que la nécessité d'être en mesure de trouver les déterminants. Par conséquent, si vous êtes mal à l'aise de faire tout cela ou ne savent pas comment, il est nécessaire d'apprendre et d'être formés.

Quelle est l'essence de cette méthode, et comment le faire, pour obtenir un système d'équations linéaires Cramer? Il est très simple. Nous devons construire une matrice de nombres (presque toujours) les coefficients d'un système d'équations algébriques linéaires. Pour ce faire, il suffit de prendre le nombre de l'inconnu, et nous organisons une table dans l'ordre où ils sont enregistrés dans le système. Si avant le numéro est un signe « – », nous écrivons coefficient négatif. Donc, nous avons fait la première matrice des coefficients des inconnues, sans compter le nombre après le signe égal (bien sûr, que l'équation doit être réduite à la forme canonique lorsque le droit est juste un nombre, et la gauche – toutes les inconnues avec des coefficients). Ensuite, vous devez faire quelques matrices – un pour chaque variable. A cet effet, dans la première matrice est remplacée par une colonne de chacun des nombres de colonnes avec les coefficients après le signe égal. Ainsi, nous obtenons quelques matrices et trouve leurs déterminants.

Après nous avons trouvé les qualifications, il est petit. Nous avons une matrice initiale, et il y a plusieurs matrices dérivées, qui correspondent à des variables différentes. Pour obtenir une solution de système, on divise le facteur déterminant de la table résultante sur le principal déterminant de la table. Le nombre résultant est la valeur d'une variable. De même, nous trouvons toutes les inconnues.

d'autres méthodes

Il existe plusieurs méthodes afin d'obtenir la solution des systèmes d'équations linéaires. Par exemple, une méthode Gauss-Jordan soi-disant, qui est utilisé pour trouver des solutions du système d'équations du second degré, et concerne également l'utilisation de matrices. Il y a aussi une méthode de Jacobi pour résoudre un système d'équations algébriques linéaires. Il adapte facilement à tous les ordinateurs et est utilisé dans le calcul.

les cas compliqués

La complexité se produit généralement si le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Ensuite, nous pouvons certainement dire que, ou le système est incompatible (c.-à-n'a pas de racines), ou le nombre de ses décisions tend vers l'infini. Si nous avons le second cas – il est nécessaire d'écrire la solution générale du système d'équations linéaires. Il comprendra au moins une variable.

conclusion

Nous touchons ici à la fin. Pour résumer: nous devons comprendre ce que la matrice du système, a appris à trouver la solution générale d'un système d'équations linéaires. En outre, nous considérons d'autres options. Nous avons compris comment résoudre des systèmes d'équations linéaires: l' élimination de Gauss et la règle de Cramer. Nous avons parlé de cas difficiles et d'autres façons de trouver des solutions.

En fait, cette question est beaucoup plus vaste, et si vous voulez mieux comprendre, nous vous conseillons de lire plus de la littérature spécialisée.