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progression géométrique. Exemple de décision

Considérons une rangée.

7 28 112 448 1792 …

Tout montre clairement que la valeur de l'un de ses éléments plus que les précédentes quatre fois exactement. Ainsi, cette série est une progression.

progression géométrique appelée séquence infinie de nombres, la caractéristique principale est que le nombre suivant est obtenu à partir de ce qui précède, en multipliant par un nombre déterminé. Ceci est exprimé par la formule suivante.

a z 1 z = a · q , où z – numéro de l'élément sélectionné.

En conséquence, z ∈ N.

Un temps où l'école est étudié la progression géométrique – 9e année. Des exemples vont aider à comprendre le concept:

0,25 0,125 0,0625 …

18 Février 6 …

Sur la base de cette formule, la progression du dénominateur se trouve comme suit:

Ni q, ou b z ne peut pas être nul. En outre, chacun des éléments d' une série de nombres progression ne devrait pas être zéro.

En conséquence, pour voir le nombre suivant d'un nombre, multiplier celui-ci par q.

Pour définir cette progression, vous devez spécifier le premier élément de celui-ci et le dénominateur. Après cela, il est possible de trouver des membres suivants et leur montant.

espèce

Selon le q et 1, cette progression est divisée en plusieurs types:

  • Si un 1, et q est supérieur à un, alors une séquence – augmente avec chaque élément successif d'une progression géométrique. Des exemples sont détaillés ci-dessous.

Exemple: a 1 = 3, q = 2 – supérieur à l' unité, les deux paramètres.

Ensuite, une séquence de nombres peut être écrit:

3 6 12 24 48 …

  • Si | q | inférieur à un, à savoir, elle est équivalente à la multiplication par division, la progression des conditions similaires – progression géométrique décroissante. Des exemples sont détaillés ci-dessous.

Exemple: a 1 = 6, q = 1/3 – a 1 est supérieur à un, q – moins.

Ensuite, une séquence de nombres peut être écrit comme suit:

2 juin 2/3 … – tout élément plusieurs éléments suivants, est 3 fois.

  • Alternance. Si q <0, les signes des nombres de la séquence alternant en permanence , indépendamment de A 1, et les éléments de toute augmentation ou diminution.

Exemple: a = 1 -3, q = -2 – sont tous deux inférieurs à zéro.

Ensuite, une séquence de nombres peut être écrit:

3, 6, -12, 24, …

formule

Pour une utilisation pratique, il y a beaucoup de progressions géométriques des formules:

  • Formule z-ième terme. Il permet le calcul de l'élément dans un nombre spécifique sans calculer les numéros précédents.

Exemple: q = 3, a = 1 4. requise pour calculer un quatrième élément de progression.

Solution: a = 4 4 3 · 4-1 · 3 = 4 3 = 4 · 27 = 108.

  • La somme des premiers éléments, dont le nombre est égal à z. Il permet le calcul de la somme de tous les éléments dans une séquence à un z compris.

≠ 0, donc, q est pas 1 – (q 1) Depuis (1- q) est dans le dénominateur, alors.

Remarque: si q = 1, la progression aurait représenté un certain nombre de répéter sans cesse le nombre.

Montant de façon exponentielle exemples: a 1 = 2, q = -2. Calculer S 5.

Solution: S 5 = 22 – formule de calcul.

  • Montant si | q | <1 et , lorsque z tend vers l' infini.

Exemple: a 1 = 2, q = 0,5. Trouvez la somme.

Solution: S z = 2 x = 4

Si l' on calcule la somme de plusieurs membres du manuel, vous verrez qu'il est en effet engagé à quatre.

S z = 1 + 2 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Quelques propriétés:

  • Une propriété caractéristique. Si la condition suivante Il détient pour tout z, puis donné une série numérique – une progression géométrique:

a z 2 = A z -1 · A z + 1

  • Il est également le carré d'un nombre quelconque est exponentiellement au moyen de l' addition des carrés des deux autres nombres dans une ligne donnée, si elles sont à égale distance de l'élément.

2 a z = a z t 2 + a z + t 2 t – la distance entre ces nombres.

  • Les éléments diffèrent par q fois.
  • Les logarithmes des éléments de progression en tant que forme ainsi une progression, mais l'arithmétique, qui est, chacun d'eux plus que la précédente par un certain nombre.

Des exemples de certains problèmes classiques

Pour mieux comprendre ce qu'est une progression géométrique, avec les exemples de décision pour la 9e année peut aider.

  • Termes et conditions: a 1 = 3, a 3 = 48. Trouver q.

Solution: chaque élément successif dans plus de la précédente q temps. Il est nécessaire d'exprimer certains éléments par d' autres via le dénominateur.

Par conséquent, une 3 q = 2 · a 1

En cas de remplacement q = 4

  • Conditions: a 2 = 6, a = 3 12. Calculer S 6.

Solution: Pour ce faire, il suffit de trouver q, le premier élément et de substitution dans la formule.

a 3 = q · a 2, par conséquent, q = 2

a 2 = q · A 1, alors a = 1 3

S = 6 189

  • · A 1 = 10, q = -2. Trouver le quatrième élément de progression.

Solution: il suffit d'exprimer le quatrième élément à travers la première et à travers le dénominateur.

4 a 3 = q · a = 1 -80

Exemple d'application:

  • client Banque a contribué la somme de 10.000 roubles, en vertu de laquelle chaque année le client au montant du capital sera ajouté 6% cependant. Combien d'argent est dans le compte après 4 ans?

Solution: Le montant initial égal à 10 mille roubles. Ainsi, un an après les investissements dans le compte sera le montant égal à 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

En conséquence, le montant du compte, même après un an sera exprimé comme suit:

(10000 · 1,06) · 10000 · 1,06 = 0,06 + 1,06 · 1,06 · 10 000

Autrement dit, chaque année, le montant a augmenté à 1,06 fois. Par conséquent, pour trouver le numéro du compte au bout de 4 ans, il suffit de trouver une quatrième progression de l'élément, qui est donné premier élément égal à 10 mille, et le dénominateur égal à 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Des exemples de problèmes dans le calcul de la somme de:

Dans divers problèmes en utilisant la progression géométrique. Un exemple de trouver la somme peut être définie comme suit:

a 1 = 4, q = 2, calculer S 5.

Solution: toutes les données nécessaires pour le calcul sont connus, les remplacer simplement dans la formule.

S 5 = 124

  • a 2 = 6, a = 3 18. Calculer la somme des six premiers éléments.

solution:

Le Geom. les progrès de chaque élément de la prochaine plus grande que les précédentes fois q, qui est, pour calculer le montant que vous avez besoin de savoir l'élément d' un 1 et le dénominateur q.

un 2 · q = a 3

q = 3

De même, la nécessité de trouver un 1, un 2 et Omniscient q.

un 1 · q = a 2

a 1 = 2

Et puis il suffit de remplacer les données connues dans la formule de quantité.

S 6 = 728.