Les concepts de base de la théorie des probabilités. Les lois de la théorie des probabilités

Beaucoup de gens, lorsqu'ils sont confrontés à la notion de « théorie des probabilités », effrayé, pensant qu'il est quelque chose intolérable, très difficile. Mais il est en fait pas si tragique. Aujourd'hui, nous regardons les concepts de base de la théorie des probabilités, apprendre à résoudre les problèmes par des exemples concrets.

science

Ce qui est en train d'étudier une branche des mathématiques comme une « théorie des probabilités »? Il note modèles d'événements aléatoires et des variables. Pour la première fois la question des Concerned Scientists au dix-huitième siècle, quand le jeu a étudié. Les concepts de base de la théorie des probabilités – événement. Il est un fait qui est déclaré par l'expérience ou l'observation. Mais quelle est l'expérience? Un autre concept de base de la théorie des probabilités. Cela signifie que cette partie des circonstances ne sont pas accidentellement créé, et avec un but. En ce qui concerne la surveillance, il est le chercheur lui-même ne participe pas à l'expérience, mais simplement témoin de ces événements, il n'a aucun effet sur ce qui se passe.

événements

Nous avons appris que le concept de base de la théorie des probabilités – l'événement, mais n'a pas examiné la classification. Tous sont divisés dans les catégories suivantes:

• Fiable.
• Impossible.
• Au hasard.

Peu importe ce que l'événement est, qui est surveillé ou créé au cours de l'expérience, ils sont affectés par cette classification. Nous offrons tous les types de rencontre séparément.

certain événement

Ceci est un fait auquel de faire l'ensemble des activités nécessaires. Afin de mieux saisir l'essence, il est préférable de donner quelques exemples. Ceci est subordonné à la loi et la physique, la chimie, l'économie et les mathématiques supérieures. la théorie des probabilités comprend un tel concept important comme un événement important. Voici quelques exemples:

• Nous travaillons et recevoir une rémunération sous forme de salaire.
• Et bien passé les examens, à un concours pour elle de recevoir une rémunération sous la forme d'admission dans un établissement d'enseignement.
• Nous avons investi de l'argent dans la banque, les récupérer si nécessaire.

De tels événements sont vraies. Si nous avons rempli toutes les conditions nécessaires, assurez-vous d'obtenir le résultat escompté.

événement impossible

Maintenant, nous considérons les éléments de la théorie des probabilités. Nous vous proposons d'aller aux clarifications dans les types d'événements suivants – à savoir l'impossible. Pour commencer la règle la plus stipuler importante – la probabilité d'un événement impossible est nul.

De cette formulation ne peut être dérogé à la résolution de problèmes. Pour illustrer des exemples de tels événements:

• L'eau est congelé à une température de plus dix (il est impossible).
• Le manque d'électricité n'affecte pas la production (aussi impossible que dans l'exemple précédent).

D'autres exemples sont donnés ne sont pas nécessaires, comme décrit ci-dessus reflètent très clairement l'essence de cette catégorie. Impossible événement ne se produit jamais au cours de l'expérience en aucune circonstance.

événements aléatoires

En étudiant les éléments de la théorie des probabilités, une attention particulière devrait être accordée à un type donné d'événement. Ce sont ceux qui étudient cette science. En raison de l'expérience de quelque chose qui peut arriver ou non. En outre, le test d'un nombre illimité de fois peut être effectuée. Parmi les exemples notables comprennent:

• Lancer la pièce – c'est une expérience, ou un test, la perte d'un aigle – cet événement.
• Tirer la balle du sac à l'aveuglette – test, a été attrapé la balle rouge – cet événement et ainsi de suite.

De tels exemples peuvent être un nombre illimité, mais, en général, doivent être compris. Pour résumer et systématiser les connaissances acquises sur les événements d'une table. Les études de la théorie des probabilités que cette dernière en nature de tous présentés.

lois

La théorie des probabilités – la science qui étudie la possibilité de perte de tout événement. Comme les autres, il a des règles. Les lois suivantes de la théorie des probabilités:

• La convergence des suites de variables aléatoires.
• La loi des grands nombres.

Lors du calcul de la possibilité d'un complexe peut être utilisé de simples événements complexes pour obtenir des résultats plus facile et plus rapide façon. Il convient de noter que les lois de la théorie des probabilités peut être facilement prouvé avec l'aide de quelques-uns des théorèmes. Nous vous conseillons de commencer à se familiariser avec la première loi.

La convergence des suites de variables aléatoires

Notez que la convergence de plusieurs types:

• La séquence de variables aléatoires convergence en probabilité.
• Presque impossible.
• convergence RMS.
• Convergence dans la distribution.

Ainsi, à la volée, il est très difficile de saisir l'essence. Voici les définitions qui vous aideront à comprendre le sujet. Pour commencer par le premier coup d'oeil. La séquence est appelée convergence en probabilité, si la condition suivante: n tend vers l' infini, le nombre recherché par la séquence est supérieure à zéro et à proximité de l'appareil.

Aller à la vue suivante, presque certainement. Ils disent que la séquence converge presque sûrement vers une variable aléatoire avec n tendant vers l' infini, et R, tendant à une valeur proche de l' unité.

Le deuxième type – une convergence de RMS. Lors de l'utilisation de la convergence SC-apprentissage des vecteurs processus aléatoires réduit à l'étude des processus de coordonnées aléatoires.

Était le dernier type, regardons brièvement et d'aller directement à la solution des problèmes. Convergence dans la distribution a un autre nom – « faible », puis expliquer pourquoi. convergence faible – est la convergence des fonctions de distribution à tous les points de continuité de la fonction de distribution de fin de course.

Assurez-vous de tenir la promesse: la convergence faible est différent de tout ce qui précède que la variable aléatoire n'est pas définie sur l'espace de probabilité. Ceci est possible parce que la condition est exclusivement constituée en utilisant des fonctions de distribution.

La loi des grands nombres

Grande aide dans la preuve de la loi sera théorèmes de la théorie des probabilités, telles que:

• l'inégalité de Tchebychev.
• Le théorème de Chebyshev.
• théorème de Chebyshev Généralisée.
• Markov.

Si l'on considère tous ces théorèmes, la question peut prendre plusieurs dizaines de feuilles. Nous avons la tâche principale – est l'application de la théorie des probabilités dans la pratique. Nous vous offrons en ce moment et le faire. Mais avant que nous considérons comme les axiomes de la théorie des probabilités, ils sont des partenaires clés dans la résolution de problèmes.

axiomes

De la première, nous avons déjà vu, quand on parle de l'événement impossible. Souvenons-nous: la probabilité d'un événement impossible est nul. Exemple nous a donné une très vive et mémorable: la neige est tombée à une température de l'air Celsius trente degrés.

Le second est le suivant: un certain événement se produit avec l'unité de probabilité. Maintenant, nous allons montrer comment il est écrit avec l'aide du langage mathématique: P (B) = 1.

Troisièmement: Un événement aléatoire peut se produire ou non, mais la possibilité est toujours varier de zéro à un. Plus il est proche de l'unité, plus les chances; si la valeur est proche de zéro, la probabilité est très faible. Nous écrivons en langage mathématique: 0 <P (C) <1.

Considérons le dernier, le quatrième axiome, qui est la suivante: la somme de la probabilité de deux événements est égale à la somme de leurs probabilités. Ecrire termes mathématiques: P (A + B) = P (A) + P (B).

Les axiomes de la théorie des probabilités – il est une règle simple qui ne sera pas difficile de se souvenir. Essayons de résoudre certains problèmes, sur la base des connaissances déjà acquises.

billet de loterie

Considérons d'abord l'exemple le plus simple – une loterie. Imaginez que vous avez acheté un billet de loterie pour la bonne chance. Quelle est la probabilité que vous gagnerez au moins vingt roubles? Le tirage total est impliqué dans un millier de billets, dont un a un prix de cinq cents roubles, dix cents roubles, vingt et cinquante roubles, et cent – cinq. La tâche de la théorie des probabilités basée sur la façon de trouver un moyen de chance. Maintenant, ensemble, nous analysons la décision ci-dessus la vue Tâches.

Si nous désignons par un prix de cinq cents roubles, alors la probabilité de A est égal à 0,001. Comment pouvons-nous? Juste besoin le nombre de billets « chanceux » divisé par le nombre total (dans ce cas: 1/1000).

En – un gain de cent roubles, la probabilité sera égale à 0,01. Maintenant, nous avons agi de la même manière que la dernière action (10/1000)

C – gain est de vingt roubles. Trouvez la probabilité, il est égal à 0,05.

Le reste des billets que nous ne sommes pas intéressés, comme leur argent de prix est inférieur à celui indiqué dans l'état. Appliquer un quatrième axiome: La probabilité de gagner au moins vingt roubles est P (A) + P (B) + P (C). La lettre P représente la probabilité d'origine de l'événement, nous dans les étapes précédentes ont déjà trouvés. Il ne reste plus qu'à établir les données nécessaires, la réponse que nous obtenons 0,061. Ce numéro sera la réponse à la question des emplois.

Jeu de cartes

Problèmes sur la théorie des probabilités, il y a aussi plus complexe, par exemple, prendre la tâche suivante. Avant le pont de trente-six cartes. Votre tâche – pour dessiner deux cartes dans une rangée, sans pile mélange, les première et deuxième cartes doivent être aces, costumes ne comptent pas.

Pour commencer, trouver la probabilité que la première carte est un as, cette division par quatre et trente-six. Mettre de côté. Nous obtenons une deuxième carte est un as avec la probabilité de trois cent trente cinquième place. La probabilité du second événement dépend de la carte que nous avons tiré le premier, nous intéresse, c'était un as ou non. Il en résulte que dans le cas dépend de l'événement A.

L'étape suivante, nous trouvons la probabilité de mise en œuvre simultanée, par exemple, multiplier A et B. Leur travail est la suivante: la probabilité d'un événement multipliée par la probabilité conditionnelle d'une autre, on calcule, en supposant que le premier événement a eu lieu, par exemple, la première carte nous avons tiré un as.

Afin de devenir tout est clair, donner la désignation de ces éléments que la probabilité conditionnelle de l'événement. Il est calculé en supposant que l'événement A est arrivé. Il est calculé comme suit: P (B / A).

Nous étendons la solution à notre problème: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) ou P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). La probabilité est (4/36) _* ((3/35) / (4/36) est calculé par arrondi au centième le plus proche , nous avons: .. _* 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. la probabilité que nous tirons sur deux aces dans une rangée est égale à neuf centièmes. la valeur est très faible, il en résulte que la probabilité d'occurrence de l'événement est extrêmement faible.

chambre oubliée

Nous offrons faire quelques plus d'options d'emplois qui étudie la théorie des probabilités. Des exemples de solutions de quelques-uns de ceux que vous avez vu dans cet article, essayez de résoudre le problème suivant: Le garçon a oublié le numéro de téléphone pour le dernier chiffre de son ami, mais depuis que l'appel était très important, puis a commencé à prendre chacun à leur tour. Nous avons besoin de calculer la probabilité qu'il appellerait plus de trois fois. la solution la plus simple du problème, si vous connaissez les règles, les lois et les axiomes de la théorie des probabilités.

Avant de voir une solution, essayez de résoudre eux-mêmes. Nous savons que ce dernier chiffre peut être de zéro à neuf, pour un total de dix valeurs. score de probabilité requis est 1/10.

Ensuite, nous devons envisager des options pour l'origine des événements, supposons que le garçon deviné juste et a gagné le droit, la probabilité de tels événements est égale à 1/10. La deuxième option: le premier feuillet d'appel, et la deuxième cible. On calcule la probabilité de tels événements: 9/10 multiplié par 1/9 à la fin, nous obtenons 1/10. La troisième option: le premier et le second appel est avéré être la mauvaise adresse, le troisième garçon était là où il voulait. Calculer la probabilité de tels événements: 9/10 multiplié par 8/9 et 1/8, on obtient en raison de 1/10. D'autres options sur l'état du problème que nous ne sommes pas intéressés, cela reste pour nous de mettre ces résultats, à la fin nous avons un 3/10. Réponse: La probabilité qu'un garçon appellerait plus de trois fois, égale à 0,3.

Cartes avec chiffres

Avant de neuf cartes, dont chacune est écrit un numéro de un à neuf, les chiffres ne sont pas répétées. Ils ont mis dans une boîte et bien mélanger. Vous devez calculer la probabilité que la

• roulé un nombre pair;
• deux chiffres.

Avant de procéder à la décision stipuler que m – est le nombre de cas de réussite, et n – est le nombre total d'options. Trouvons la probabilité que le nombre est encore. N'est pas difficile de calculer que même nombre de quatre, et il est notre m, les neuf options possibles, soit m = 9. La probabilité est égale à 0,44 ou 4/9.

Nous considérons le second cas, le nombre de variantes de neuf, et un résultat positif ne peut pas être du tout, qui est, m est égal à zéro. La probabilité que la carte allongée contiendra un nombre à deux chiffres, zéro.