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Fonction périodique: concepts généraux

Souvent, lorsqu'on étudie les phénomènes de la nature, les propriétés chimiques et physiques de diverses substances, ainsi que la résolution de problèmes techniques complexes, il faut rencontrer des processus caractérisés par une périodicité, c'est-à-dire une tendance à répéter après une certaine période de temps. Pour la description et la représentation graphique d'une telle cyclicité dans la science, il existe une fonction d'un type spécial – une fonction périodique.

L'exemple le plus simple et le plus compréhensible est l'inversion de notre planète autour du Soleil, où tout le temps qui varie entre eux obéit aux cycles annuels. De la même manière, la pale de la turbine revient à sa place, ayant fait une révolution complète. Tous ces processus peuvent être décrits par une telle valeur mathématique comme une fonction périodique. Dans l'ensemble, notre monde entier est cyclique. Cela signifie que la fonction périodique occupe également une place importante dans le système des coordonnées humaines.

La nécessité de la science mathématique dans la théorie des nombres, la topologie, les équations différentielles et les calculs géométriques précis a conduit à l'apparition au XIXe siècle d'une nouvelle catégorie de fonctions avec des propriétés inhabituelles. Ce sont des fonctions périodiques qui prennent des valeurs identiques à certains points en raison de transformations complexes. Maintenant, ils sont appliqués dans de nombreuses branches des mathématiques et d'autres sciences. Par exemple, dans l'étude de divers effets vibratoires dans la physique des ondes.

Différents manuels mathématiques donnent différentes définitions de la fonction périodique. Cependant, indépendamment de ces divergences dans les formulations, elles sont toutes équivalentes, car elles décrivent les mêmes propriétés de la fonction. La définition suivante peut être la plus simple et la plus compréhensible. Fonctions dont les valeurs numériques ne sont pas sujettes à changement, si nous ajoutons à leur argument un certain nombre différent de zéro, la soi-disant période de la fonction, désignée par la lettre T, s'appelle périodiquement. Qu'est-ce que tout cela signifie dans la pratique?

Par exemple, une fonction simple de la forme: y = f (x) devient périodique dans le cas où X a une valeur définie de la période (T). A partir de cette définition, il s'ensuit que si la valeur numérique d'une fonction ayant une période (T) est définie à l'un des points (x), sa valeur est également connue aux points x + T, x = T. Un point important ici est que lorsque T la fonction égale à zéro devient une identité. Une fonction périodique peut avoir un nombre infini de périodes différentes. Dans la majorité des cas parmi les valeurs positives de T, il y a une période avec l'indice numérique le plus petit. On l'appelle la période principale. Et toutes les autres valeurs de T sont toujours multiples. C'est une autre propriété intéressante et très importante pour divers domaines de la science.

Le graphique d'une fonction périodique comporte également plusieurs singularités. Par exemple, si T est la période principale de l'expression: y = f (x), alors, lors de la construction du graphique d'une fonction donnée, il suffit de construire une branche sur l'un des intervalles de la durée de la période, puis de la transférer le long de l'axe x aux valeurs suivantes: ± T, ± 2T , ± 3T et ainsi de suite. En conclusion, il convient de noter que toutes les fonctions périodiques n'ont pas de période de base. Un exemple classique de ceci est la fonction du mathématicien allemand Dirichlet de la forme suivante: y = d (x).