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Qu'est-ce que les nombres rationnels? Quels sont les plus?

Qu'est – ce que les nombres rationnels? les élèves et les étudiants supérieurs de spécialités mathématiques sont susceptibles de répondre facilement à cette question. Mais ceux qui, par profession est loin de là, il sera plus difficile. Qu'est-ce qu'il est en réalité?


L'essence et la désignation

Aux termes de nombres rationnels signifie ceux qui peuvent être représentés comme une fraction commune. Positif, négatif et zéro sont également inclus dans cet ensemble. Le numérateur de la fraction , dans ce cas doit être un nombre entier, et le dénominateur – représentent un nombre entier positif.

Cet ensemble de mathématiques est appelée Q et est appelé le « champ des nombres rationnels. » Ils comprennent tous ensemble et naturel, notée Z et N. Le même ensemble de Q inclus dans le R. set Il est cette lettre représentent les soi-disant nombres réels ou réels.

idée

Comme nous l'avons mentionné, les nombres rationnels – cet ensemble, qui comprend tous les nombres entiers et des fractions. Ils peuvent se présenter sous différentes formes. Tout d'abord, sous la forme de fractions ordinaires: 5/7, 1/5, 11/15, etc. Bien sûr, les entiers peuvent aussi être rédigés d'une manière similaire: 6/2, 15/5, 0/1, – .. 10/2, etc. en second lieu, un autre type de présentation – une fraction décimale finie: …. 0,01, -15,001006, etc. Ceci est peut-être l'une des formes les plus courantes.

Mais il y a une troisième – fraction périodique. Cette espèce est peu commune, mais encore utilisé. Par exemple, la fraction 10/3 peut être écrit comme 3,33333 … ou 3, (3). Les différents points de vue seront pris en considération les mêmes numéros. Comme sera désigné, et égale les uns aux autres fractions telles que 3/5 et 10/6. Il semble qu'il est devenu clair qu'un nombre rationnel. Mais pourquoi est le terme utilisé pour désigner les?

Origine du nom

Le mot « rationnel » dans la langue russe moderne porte en général un sens légèrement différent. Au contraire, il est « raisonnable », « délibéré ». Mais les termes mathématiques sont proches du sens littéral du mot emprunté. Le "ratio" en latin – est "attitude", "roll" ou "division." Ainsi, le nom reflète l'essence de ce qui est rationnel. Cependant, le deuxième sens far gone de la vérité.

manipulation

Dans la résolution de problèmes mathématiques, nous sommes constamment confrontés à des nombres rationnels, ne sachant pas eux-mêmes. Et ils ont un certain nombre de propriétés intéressantes. ils suivent tous de la définition d'un ensemble d'actions non plus.

Tout d'abord, les nombres rationnels ont les rapports de propriété de l'ordre. Cela signifie qu'entre les deux nombres ne peut être qu'une relation – ils sont soit égaux entre eux, ou un plus ou moins qu'un autre. Ie.:

ou a = b; ou a> b, ou <b.

En outre, cette propriété du rapport de transitivité comme suit. Autrement dit, si un est supérieur à b, b plus c, alors est supérieure à c. Dans le langage des mathématiques est la suivante:

(A> b) ^ (b > c) => (a> c).

En second lieu, il y a des opérations arithmétiques avec des nombres rationnels, par exemple, addition, soustraction, division, et, bien sûr, la multiplication. Dans le processus de transformation peut également sélectionner un certain nombre de propriétés.

  • a + b = b + a (termes de changement des lieux commutativité);
  • 0 + a = a + 0;
  • (A + b) + c = a + (b + c) ( associativité);
  • a + (-a) = 0;
  • ab = ba;
  • (Ab) c = a (bc ) ( Distributivity);
  • 1 = ax 1 xa = a;
  • ax (1 / a) = 1 (dans laquelle a est différent de 0);
  • (A + b) c = ac + ab;
  • (A> b) ^ (c > 0) => (ac> bc) .

En ce qui concerne ordinaire, non décimal, les fractions et les nombres entiers, les actions avec eux peuvent causer des difficultés. Par exemple, l'addition et la soustraction ne sont possibles qu'avec dénominateurs égales. Si elles sont différentes au départ, devrait être de trouver une commune, en utilisant une multiplication de toutes les fractions sur un certain nombre. Comparez aussi souvent que possible dans cette condition.

Division et multiplication des fractions produites selon des règles assez simples. La réduction à un dénominateur commun n'est pas nécessaire. Par ailleurs, il faut multiplier les numérateurs et dénominateurs, alors que dans le processus de mise en œuvre de la fraction des actions possibles nécessaires pour réduire et simplifier.

Quant à la division, alors il est similaire à la première avec une légère différence. Pour le second coup doit trouver l'inverse, c'est- "Flip" il. Ainsi, le numérateur de la première fraction devra être multiplié par le dénominateur de la seconde et vice versa.

Enfin, une autre propriété partagée par des nombres rationnels, a appelé l'axiome d'Archimède. le nom du « principe » est souvent dans la littérature aussi. Il est valable pour l'ensemble des nombres réels, mais pas partout. Ainsi, ce principe ne concerne pas certains ensembles de fonctions rationnelles. En substance, cet axiome signifie que quand il y a deux valeurs de a et b, vous pouvez toujours prendre une quantité suffisante a, b de surperformer.

champ d'application

Ainsi, ceux qui sont appris ou rappeler, qu'un nombre rationnel, il est clair qu'ils sont utilisés partout: en comptabilité, économie, statistiques, physique, chimie et autres sciences. Bien entendu, il y a aussi la place pour les mathématiques. Pas toujours en sachant que nous traitons avec eux, nous utilisons constamment des nombres rationnels. Même les petits enfants qui apprennent à compter des objets, de coupe en parties pomme ou de compléter d'autres actions simples, face à eux. Ils nous entourent littéralement. Pourtant , pour certaines tâches , ils ne sont pas suffisantes, en particulier l'exemple du théorème de Pythagore, nous pouvons comprendre la nécessité d'introduire le concept des nombres irrationnels.