Le calcul différentiel des fonctions d'une et plusieurs variables

Le calcul différentiel est une branche de l'analyse mathématique, qui examine les dérivés, les différences et leur utilisation dans l'étude des fonctions.

L'histoire de

Le calcul différentiel est apparu comme une discipline indépendante dans la seconde moitié du 17ème siècle, grâce au travail de Newton et Leibniz, qui a formulé les dispositions de base dans le calcul des écarts et a remarqué le lien entre l'intégration et la différenciation. Depuis la discipline, il a développé avec le calcul des intégrales, ce qui constitue la base de l'analyse mathématique. L'apparition de ces lithiase a ouvert une nouvelle période moderne dans le monde mathématique et a provoqué l'émergence de nouvelles disciplines scientifiques. En outre étendu la possibilité d'appliquer les mathématiques dans les sciences naturelles et en génie.

concepts de base

Le calcul différentiel est basé sur les concepts fondamentaux des mathématiques. Ils sont: un nombre réel, la continuité et la limite de la fonction. Après un certain temps, ils ont pris un look moderne, grâce au calcul intégral et différentiel.

Le processus de création

Formation du calcul différentiel sous la forme d'une application, puis la méthode scientifique a eu lieu avant l'émergence de la théorie philosophique, qui a été créé par Nikolay Kuzansky. Son travail est considéré comme un développement évolutif de la science antique du jugement. Malgré le fait que le philosophe lui-même était pas un mathématicien, sa contribution au développement de la science mathématique est indéniable. Cuse, l'un des premiers de l'examen de l'arithmétique comme la science la plus précise, les mathématiques mettre le temps en question.

Dans les mathématiciens anciens critère universel était une unité, alors que le philosophe proposé comme une nouvelle mesure de l'infini retourner le nombre exact. Dans le cadre de cette représentation inversée de précision dans la science mathématique. Les connaissances scientifiques, à son avis, est divisé en rationnel et intelligent. La seconde est plus précise, selon le scientifique, puisque l'ancien donne seulement des résultats approximatifs.

idée

L'idée de base et le concept du calcul différentiel associé à la fonction dans un petit voisinage de certains points. Pour cela, il est nécessaire de créer un appareil mathématique pour fonctionner des études dont le comportement dans un petit quartier de points installés près du comportement d'une fonction linéaire ou un polynôme. Sur la base de cette définition d'instrument dérivé et différentiel.

L'émergence du concept du dérivé a été causé par un grand nombre de problèmes de sciences naturelles et mathématiques, qui ont conduit à la détermination des valeurs limites du même type.

L'une des tâches principales qui sont donnés à titre d'exemple, en commençant par les plus anciennes classes d'école, est de déterminer la vitesse de déplacement d'un point dans une ligne droite et la construction de la ligne tangente à cette courbe. Le différentiel lié à cela, car il est possible de rapprocher la fonction dans un petit voisinage du point d'une fonction linéaire.

Par rapport à la notion de dérivée d'une fonction d'une variable réelle, la définition des différentiels passe simplement sur la fonction de la nature générale, en particulier l'image d'un espace euclidien à l'autre.

dérivé

Laissez le point se déplace dans la direction de l'axe des y, pour le temps que nous prenons x, qui est mesurée à partir du début d'un moment. Décrire un tel mouvement est possible par la fonction y = f (x), qui est associé à chaque point de temps x point de coordonnées déplaçable. Cet appel de fonction en mécanique de prendre loi du mouvement. La caractéristique principale du mouvement, en particulier inégale, est la vitesse instantanée. Lorsque le point est déplacé le long de l'axe y en fonction de la loi de la mécanique, le point de temps aléatoire, il acquiert de coordonnées x f (x). En point de temps x + Dh, où l'augmentation représente Dh de temps, il kordinaty f (x + Dh). Ainsi formée formule Ay = f (x + AH) – f (x), qui est appelé une fonction d'incrément. Il est un point du chemin parcouru pendant le temps de x à x + Dh.

En ce qui concerne l'apparition de la vitesse à dérivée dans le temps est administré. Le dérivé d'une fonction en un point fixe appelé la limite (si elle existe). Il peut se référer à certains caractères:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, f (x).

Le procédé de calcul de la dérivée de la différenciation des appels.

Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables

Cette méthode est appliquée lors du calcul de l'étude de la fonction, plusieurs variables. Lorsqu'il y a deux variables x et y, la dérivée partielle par rapport à x au point A est appelée la dérivée de cette fonction en x avec y fixe.

Peut être indiquée par les symboles suivants:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x et ∂f (x, y) « / ∂x.

compétences requises

Pour réussir à apprendre et être en mesure de résoudre diffury les compétences requises en matière d'intégration et de différenciation. Pour le rendre plus facile à comprendre les équations différentielles, doit être compris dérivé de sujet et intégrale indéfinie. ne fait pas de mal d'apprendre à chercher la dérivée de la fonction implicite. Cela est dû au fait que dans le processus d'apprentissage utilisera souvent la différenciation et Intégrales.

Types d'équations différentielles

Pratiquement tout le travail de contrôle associé du premier ordre des équations différentielles, il existe 3 types d'équations: homogènes, avec des variables séparables, inhomogènes linéaire.

Il y a aussi plus rares équations d'espèces avec différentielles totales, l'équation de Bernoulli, et d'autres.

solutions Fundamentals

Pour commencer, nous devons nous rappeler est l'équation algébrique d'un cours de l'école. Ils contiennent les variables et les chiffres. Afin de résoudre l'équation classique devrait trouver beaucoup de chiffres qui satisfont à une condition spécifiée. En règle générale, ces équations ont une racine, et pour la validation ne doit remplacer cette valeur en lieu inconnu.

L'équation différentielle est similaire à ce produit. En général, une équation du premier ordre comprend:

• Variable indépendante.
• Un dérivé de la première fonction.
• Fonction ou variable dépendante.

Dans certains cas, il peut y avoir pas un inconnu, x ou y, mais il est pas aussi important car il est nécessaire d'avoir la dérivée première, sans dérivés d'ordre supérieur à la solution et le calcul différentiel était vrai.

Résoudre l'équation différentielle – cela signifie de trouver l'ensemble de toutes les fonctions qui sont appropriés expression donnée. Ces ensembles de fonctions est appelé souvent le contrôle de solution générale.

calcul intégral

calcul intégral est l'une des sections de l'analyse mathématique, qui examine le concept de propriétés et méthodes intégrales, de son calcul.

Souvent, le calcul de l'intégrale se produit lors du calcul de l'aire d'une forme curviligne. Par ce moyen, une zone de limite vers laquelle une zone prédéterminée de la forme de polygone inscrit avec une augmentation progressive de la main, et la partie de données peut être inférieure à une valeur faible arbitraire spécifiée précédemment.

L'idée principale dans le calcul de la surface de toute forme géométrique calcule l'aire d'un rectangle, alors il est évident que sa superficie est égale au produit de la longueur par la largeur. Pour ce qui est de la géométrie, toutes les constructions sont réalisées en utilisant une règle et un compas, et ensuite le rapport de la longueur à la largeur est une valeur raisonnable. Lors du calcul de la surface d'un triangle peut être déterminé que si vous mettez un triangle suivant, un rectangle est formé. Dans le domaine du parallélogramme sont calculées dans un procédé similaire, mais légèrement plus complexe, à l'intérieur d'un rectangle et d'un triangle. Dans la zone d'un polygone est considéré par des triangles inclus dans ce.

Pour déterminer la merci d'arbitraire, cette méthode ne correspond pas à la courbe. Si nous divisons en carrés individuels, il reste des endroits non remplis. Dans ce cas, essayez d'utiliser deux couches, avec des rectangles ci-dessus et ci-dessous, à la suite de ceux comprennent le graphique de la fonction et ne comprend pas. Important ici est un moyen de briser ces rectangles. De plus, si nous prenons la pause de plus en plus réduit, devrait converger vers une certaine valeur de la zone du haut et en bas.

Il convient de revenir à un procédé de séparation en rectangles. Il existe deux méthodes populaires.

Riemann a été officialisé la définition de l'intégrale, créée par Leibniz et Newton, que la zone de sous-graphe. Dans ce cas, nous avons considéré une figure composée d'un certain nombre de rectangles verticaux obtenus en divisant l'intervalle. Lorsque la rupture d'une diminution il y a une limite à laquelle la zone réduite de cette figure, cette limite est appelée l'intégrale de Riemann d'une fonction à un intervalle spécifié.

Une deuxième méthode consiste à construire l'intégrale de Lebesgue, consistant dans le fait que, dans le lieu de séparation zone désignée sur une partie de l'intégrale et la compilation de la somme intégrale des valeurs obtenues dans ces régions, à des intervalles répartis sa gamme de valeurs, puis additionné avec les mesures correspondantes d'images inverses de ces intégrales.

aides modernes

L'un des principaux avantages pour l'étude du calcul différentiel et intégral Fikhtengol'ts écrit – « du calcul différentiel et intégral. » Son manuel est un outil fondamental pour l'étude de l'analyse mathématique, qui a résisté à de nombreuses éditions et traductions dans d'autres langues. Conçu pour les étudiants et depuis longtemps utilisés dans une variété d'établissements d'enseignement comme l'un des principaux avantages de l'étude. Il donne des informations théoriques et pratiques. D'abord publié en 1948.

Fonction de recherche algorithme

Pour explorer les méthodes de la fonction de calcul différentiel, vous devez suivre est déjà donné l'algorithme:

1. Trouver le domaine de la fonction.
2. Trouver les racines de l'équation donnée.
3. Calculer les extrêmes. Pour ce faire, on calcule la dérivée et le point où il est égal à zéro.
4. Nous remplaçons la valeur obtenue dans l'équation.

Les variétés d'équations différentielles

Commande du premier ordre (sinon, le calcul différentiel d'une variable) et de leurs types:

• Avec l'équation de variables séparables: f (y) dy = g (x) dx.
• La fonction de calcul d'une variable équation différentielle ou simple, ayant la formule: y « = f (x).
• Le premier ordre de commande non uniforme linéaire: y « + P (x) y = Q (x).
• équation différentielle Bernoulli: y « + P (x) y = Q (x) y a.
• Equation différentielles totales avec: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Les équations différentielles de deuxième ordre et de leurs types:

• Homogène seconde équation différentielle d'ordre linéaire à ^{coefficients constants: y n + py « + qy} = 0 p, q appartient R.
• Inhomogène seconde équation différentielle d'ordre linéaire avec la ^valeur des coefficients ^{constants: y n + py « + qy} = f (x).
• Homogène ^équation différentielle ^{linéaire: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, et inhomogène ^équation du second ^{ordre: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

équations différentielles des ordres supérieurs et leurs types:

• L'équation différentielle, ce qui permet une réduction de ^{l'ordre: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Une équation linéaire d'ordre supérieur ^{_{homogène: y (n) + f (}} n – ₁₎ y ^(n-1) + … + f ₁ y « + f ₀ y = 0, et ^{_{inhomogène: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + … + f ₁ y « + f ₀ y = f (x).

Les étapes de résolution du problème de l'équation différentielle

Avec l'aide de la télécommande sont résolus non seulement les mathématiques ou les problèmes physiques, mais aussi les divers problèmes de la biologie, l'économie, la sociologie et d'autres. En dépit de la grande variété de sujets, doivent suivre une seule séquence logique pour résoudre ces problèmes:

1. L'élaboration de contrôle. L'une des étapes les plus difficiles, ce qui exige une précision maximale, car toute erreur conduira à des résultats complètement faux. Il est nécessaire de prendre en compte tous les facteurs qui influent sur le processus et déterminer les conditions initiales. Il devrait également se fonder sur des faits et des conclusions logiques.
2. Pour la résolution des équations. Ce processus est plus facile au premier point, car il ne nécessite que la stricte application des calculs mathématiques.
3. L'analyse et l'évaluation des résultats. solution dérivée doit être évaluée pour l'installation de la valeur pratique et théorique du résultat.

Un exemple de l'utilisation d'équations différentielles en médecine

Utilisation de la télécommande dans le domaine de la médecine se trouve dans la construction du modèle mathématique épidémiologique. Il ne faut pas oublier que ces équations sont également présents dans la biologie et la chimie, qui sont proches de la médecine, car il joue un rôle important de l'étude des différentes populations biologiques et des procédés chimiques dans le corps humain.

Dans cet exemple, la propagation épidémique de l'infection peut être traitée dans une communauté isolée. Les habitants sont divisés en trois types:

• Infecté, le nombre de x (t), qui est composée d'individus porteurs infectieux, dont chacun est infectieux (période d'incubation est courte).
• Le second type comprend les personnes y sensibles (t), peuvent être infectés par le contact avec infecté.
• Le troisième type comprend des individus réfractaires z (t), qui sont à l'abri ou perdu pour cause de maladie.

Nombre de personnes en permanence, en gardant la naissance, de mort naturelle et la migration ne sont pas pris en compte. Au cœur sera deux hypothèses.

la maladie en pourcentage, à un point de temps est égale à x (t) y (t) (hypothèse basée sur la théorie selon laquelle le nombre de cas en proportion du nombre d'intersections entre les patients et les membres réactifs, qui, dans la première approximation proportionnelle à x (t) y (t)), dans par conséquent, le nombre de cas est en augmentation, et le nombre de diminutions sensibles à une vitesse qui est calculé par la formule ax (t) y (t) (a> 0).

Nombre d'animaux non-répondeurs qui sont morts ou ont acquis une immunité, a augmenté à un taux qui est proportionnel au nombre de cas, bx (t) (b> 0).

Par conséquent, vous pouvez mettre en place un système d'équations avec tous les trois indicateurs sur la base de ses conclusions.

Exemple économie d'utilisation

Le calcul différentiel est souvent utilisé dans l'analyse économique. La tâche principale de l'analyse économique est considérée comme l'étude des valeurs de l'économie, qui sont enregistrées sous la forme de la fonction. Il est utilisé dans la résolution de problèmes tels que les changements impôt sur le revenu augmente immédiatement après, les frais d'entrée, l'évolution des revenus lors du changement de la valeur du produit, dans quelle proportion peut être remplacé par des employés retraités avec de nouveaux équipements. Pour résoudre ces problèmes, il est nécessaire de construire une fonction de communication des variables entrantes, qui, après avoir été étudié par le calcul différentiel.

Dans le domaine économique, il est souvent nécessaire de trouver les indicateurs les plus optimisés: la productivité maximale du travail, les revenus les plus élevés, les coûts les plus bas, etc. Chacun de ces indicateurs est fonction d'un ou de plusieurs arguments. Par exemple, la production peut être considérée comme fonction des dépenses de main-d'œuvre et de capital. À cet égard, la recherche de la valeur appropriée peut être réduite pour trouver le maximum ou le minimum d'une fonction à partir d'une ou plusieurs variables.

De tels problèmes créent une classe de problèmes extrêmes dans le domaine économique, pour lequel un calcul différentiel est nécessaire. Lorsque l'indicateur économique doit être minimisé ou maximisé en fonction d'un autre indicateur, alors, au point maximum, le rapport de l'incrément de la fonction aux arguments tend à zéro si l'incrément de l'argument tend à zéro. Sinon, lorsqu'une telle attitude a tendance à une valeur positive ou négative, le point spécifié n'est pas approprié car, en augmentant ou en diminuant l'argument, il est possible de modifier la valeur dépendante dans la direction nécessaire. Dans la terminologie du calcul différentiel, cela signifie que la condition requise pour le maximum de la fonction est la valeur zéro de sa dérivée.

Dans l'économie, il y a souvent des problèmes de trouver un bout de fonction avec plusieurs variables, car les indicateurs économiques sont constitués de nombreux facteurs. Des questions similaires sont bien étudiées dans la théorie des fonctions de plusieurs variables qui appliquent des méthodes de calcul différentiel. Ces tâches incluent non seulement des fonctions maximisées et minimisées, mais aussi des limitations. Des questions similaires concernent la programmation mathématique, et elles sont résolues à l'aide de méthodes spécialement développées, également basées sur cette section de la science.

Parmi les méthodes de calcul différentiel utilisées en économie, une section importante est l'analyse marginale. Dans le domaine économique, ce terme se réfère à un ensemble de méthodes pour étudier les indicateurs variables et les résultats lors de la modification des volumes de création, de consommation, en fonction de l'analyse de leurs limites. L'indice limite est la dérivée ou les dérivées partielles avec plusieurs variables.

Le calcul différentiel de plusieurs variables est un sujet important du domaine de l'analyse mathématique. Pour une étude approfondie, divers supports pédagogiques pour les établissements d'enseignement supérieur peuvent être utilisés. L'un des Fichtenholz créé le plus célèbre – "Le cours du calcul différentiel et intégral". Comme le montre le titre, les compétences dans le travail avec les intégrales revêtent une importance considérable pour résoudre les équations différentielles. Lorsque le calcul différentiel d'une fonction d'une variable a lieu, la solution devient plus simple. Bien qu'il soit à noter, il obéit aux mêmes règles de base. Pour pratiquer la fonction dans le calcul différentiel, il suffit de suivre l'algorithme déjà disponible, qui est donné dans les classes supérieures de l'école et n'est que légèrement compliqué lorsque de nouvelles variables sont entrées.