L'équation du plan: comment faire? Types avion équations

Dans l'espace, un plan peut être défini de différentes façons (un point et un vecteur, deux points et un vecteur, trois points, etc.). C'est dans cet esprit que l'équation de l'avion peut avoir différents types. En outre, sous certaines conditions, les plans peuvent être parallèles, perpendiculaires, se croisant, etc. Nous en parlerons dans cet article. Nous allons apprendre à faire une équation générale de l'avion et pas seulement.

La forme normale de l'équation

Supposons qu'il y ait un espace R ₃ doté d'un système de coordonnées rectangulaire XYZ. Définissez le vecteur α, qui sera libéré du point initial O. A travers la fin du vecteur α dessiner le plan Π qui sera perpendiculaire à celui-ci.

Nous désignons par Π un point arbitraire Q = (x, y, z). Nous écrirons le rayon du point Q par la lettre p. Dans ce cas, la longueur du vecteur α est égale à p = IαI et Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

C'est un vecteur unitaire dirigé vers le côté, comme le vecteur α. Α, β et γ sont les angles qui se forment entre le vecteur Ʋ et les directions positives des axes de l'espace x, y, z, respectivement. La projection d'un point QεP sur le vecteur Ʋ est une constante égale à p: (p, Ʋ) = p (p≥0).

Cette équation est logique lorsque p = 0. Le seul plan P dans ce cas intersecte le point O (α = 0), qui est l'origine, et le vecteur unitaire Ʋ libéré du point O sera perpendiculaire à Π, malgré sa direction, ce qui signifie que le vecteur Ʋ est défini avec Précision du signe. L'équation précédente est l'équation de notre plan II, exprimée sous forme vectorielle. Mais dans les coordonnées de son apparence comme ceci:

P est supérieur ou égal à 0. Nous avons trouvé l'équation d'un plan dans l'espace sous la forme normale.

L'équation générale

Si l'équation dans les coordonnées est multipliée par un nombre qui n'est pas égal à zéro, on obtient une équation équivalente à celle donnée, ce qui détermine le même plan. Il ressemblera à ceci:

Ici A, B, C sont des nombres simultanément non nuls. Cette équation est appelée l'équation d'un plan général.

Les équations des avions. Cas spéciaux

L'équation sous forme générale peut être modifiée en présence de conditions supplémentaires. Considérons certains d'entre eux.

Supposons que le coefficient A soit égal à 0. Cela signifie que le plan donné est parallèle à l'axe donné Ox. Dans ce cas, la forme de l'équation changera: Boo + Cz + D = 0.

De même, la forme de l'équation changera dans les conditions suivantes:

• Tout d'abord, si B = 0, alors l'équation changera en Ax + Cz + D = 0, ce qui sera une preuve de parallélisme à l'axe Oy.
• Deuxièmement, si C = 0, alors l'équation est transformée en Ax + Boo + D = 0, qui parlera de parallélisme à l'axe Oz donné.
• Troisièmement, si D = 0, l'équation ressemblera à Ax + Boo + Cz = 0, ce qui signifie que le plan intersecte O (l'origine).
• Quatrièmement, si A = B = 0, l'équation changera en Cz + D = 0, ce qui se révélera parallèle à Oxy.
• Cinquièmement, si B = C = 0, alors l'équation devient Ax + D = 0, ce qui signifie que le plan vers Oyz est parallèle.
• Sixièmement, si A = C = 0, alors l'équation prend la forme Boo + D = 0, c'est-à-dire qu'elle rapportera le parallélisme à Oxz.

Type d'équation dans les segments

Dans le cas où les nombres A, B, C, D sont différents de zéro, la forme de l'équation (0) peut être la suivante:

X / a + y / b + z / c = 1,

Dans lequel a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Par conséquent, nous obtenons l'équation du plan dans les segments. Il convient de noter que ce plan intersecte l'axe Ox au point avec des coordonnées (a, 0,0), Oy – (0, b, 0) et Oz – (0,0, c).

Compte tenu de l'équation x / a + y / b + z / c = 1, il n'est pas difficile de visualiser l'agencement du plan par rapport à un système de coordonnées donné visuellement.

Coordonnées du vecteur normal

Le vecteur normal n au plan Π a des coordonnées qui sont les coefficients de l'équation générale du plan donné, c'est-à-dire n (A, B, C).

Pour déterminer les coordonnées du n normal, il suffit de connaître l'équation générale du plan donné.

En utilisant l'équation dans les segments, qui a la forme x / a + y / b + z / c = 1, comme pour l'équation générale, on peut écrire les coordonnées de n'importe quel vecteur normal du plan donné: (1 / a + 1 / b + 1 / C).

Il est intéressant de noter qu'un vecteur normal aide à résoudre une variété de tâches. Les problèmes les plus courants sont le problème de la preuve de la perpendicularité ou du parallélisme des avions, le problème de trouver des angles entre les plans ou les angles entre les plans et les lignes.

La forme de l'équation du plan selon les coordonnées du point et le vecteur normal

Un vecteur non nul n perpendiculaire à un plan donné est appelé normal (normal) pour un plan donné.

Supposons que dans l'espace des coordonnées (système de coordonnées rectangulaires), Oxyz soit donné:

• Point Mₒ avec coordonnées (xₒ, yₒ, z );
• Le vecteur zéro est n = A * i + B * j + C * k.

Il est nécessaire de composer l'équation du plan, qui traversera le point Mₒ perpendiculaire au n normal.

Dans l'espace, nous choisissons un point arbitraire et le désignons par M (xy, z). Laissez le rayon de n'importe quel point M (x, y, z) soit r = x * i + y * j + z * k, et le rayon du point Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) – rₒ = xₒ * i + yₒ * J + zₒ * k. Le point M appartiendra au plan donné si le vecteur MₒM est perpendiculaire au vecteur n. Notons l'état d'orthogonalité au moyen du produit scalaire:

[MₒM, n] = 0.

Comme MₒM = r-rₒ, l'équation vectorielle du plan ressemblera à ceci:

[R – rₒ, n] = 0.

Cette équation peut avoir une autre forme. Pour ce faire, nous utilisons les propriétés du produit scalaire et le côté gauche de l'équation est transformé. [R – rₒ, n] = [r, n] – [rₒ, n]. Si [rₒ, n] est désigné par c, l'équation suivante est obtenue: [r, n] – c = 0 ou [r, n] = c, ce qui exprime la constance des projections sur le vecteur normal des vecteurs de rayon des points donnés qui appartiennent au plan.

Maintenant, nous pouvons obtenir la forme coordonnée de l'enregistrement de l'équation vectorielle de notre plan [r – rₒ, n] = 0. Puisque r-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, et N = A * i + B * j + C * k, nous avons:

Il s'avère que l'équation d'un avion passant par un point perpendiculaire au n normal:

A * (x – xₒ) + B * (y – yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

La forme de l'équation du plan selon les coordonnées de deux points et un vecteur, le plan colinéaire

Nous définissons deux points arbitraires M '(x', y ', z') et M "(x", y ", z"), ainsi que le vecteur a (a ', a ", a).

Maintenant, nous pouvons composer l'équation du plan donné, qui traversera les points disponibles M 'et M ", ainsi que tout point M avec les coordonnées (x, y, z) parallèles au vecteur donné a.

De plus, les vecteurs M'M = {x-x '; y-y'; zz '} et M "M = {x" -x'; y "-y '; z" -z'} doivent être coplanaires avec le vecteur A = (a ', a ", a), et cela signifie que (M'M, M" M, a) = 0.

Donc, notre équation d'un avion dans l'espace ressemblera à ceci:

La forme de l'équation d'un plan qui coupe trois points

Supposons que nous avons trois points: (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴) qui n'appartiennent pas à la même ligne. Il est nécessaire d'écrire l'équation du plan passant par les trois points donnés. La théorie de la géométrie affirme qu'un tel plan existe, mais il est unique et non réutilisable. Puisque ce plan coupe le point (x ', y', z '), la forme de son équation sera la suivante:

Ici A, B, C sont tous deux non nulles. En outre, le plan donné coupe deux points de plus: (x ", y", z ") et (x ‴, y ‴, z ‴). À cet égard, ces conditions doivent être remplies:

Maintenant, nous pouvons former un système homogène d' équations (linéaire) avec des inconnues u, v, w:

Dans notre cas, x, y ou z est un point arbitraire qui satisfait l'équation (1). Compte tenu de l'équation (1) et du système à partir des équations (2) et (3), le système d'équations indiqué dans la figure ci-dessus satisfait le vecteur N (A, B, C), qui n'est pas trivial. C'est pourquoi le déterminant de ce système est nul.

L'équation (1), que nous avons obtenue, c'est l'équation de l'avion. Après 3 points, ça va exactement, et il est facile de vérifier. Pour ce faire, nous devons élargir notre déterminant par les éléments de la première ligne. À partir des propriétés existantes du déterminant, il s'ensuit que notre avion croise simultanément les trois points initialement donnés (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Autrement dit, nous avons résolu la tâche qui nous occupe.

L'angle recto-verso entre les avions

Le coin à deux côtés représente une figure géométrique spatiale formée par deux demi-plans qui émanent d'une ligne droite. En d'autres termes, cela fait partie de l'espace qui se limite à ces demi-avions.

Supposons que nous avons deux plans avec les équations suivantes:

Nous savons que les vecteurs N = (A, B, C) et N¹ = (А¹, ¹, ¹¹) sont perpendiculaires selon les plans donnés. À cet égard, l'angle φ entre les vecteurs N et N¹ est égal à l'angle (recto-verso) qui se situe entre ces plans. Le produit scalaire a la forme:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

Précisément parce que

Cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (АА¹ + В¹¹ СС¹) / ((√ (А² + ²² + ²²)) * (√ (А¹) ² + (¹) ² + (¹¹) ²)).

Il suffit de prendre en compte que 0≤φ≤π.

En fait, deux plans qui se croisent forment deux angles (deux faces): φ ₁ et φ ₂ . Leur somme est égale à π (φ ₁ + φ ₂ = π). Quant à leurs cosinus, leurs valeurs absolues sont égales, mais elles diffèrent en signe, c'est-à-dire cos φ ₁ = -cos φ ₂ . Si nous remplaçons A, B et C par les nombres -A, -B et -C, respectivement, dans l'équation (0), alors l'équation que nous obtenons déterminera ce même plan, le seul, φ dans l'équation cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Sera remplacé par π-φ.

L'équation du plan perpendiculaire

Perpendiculaires sont les plans entre lesquels l'angle est de 90 degrés. En utilisant le matériau décrit ci-dessus, on peut trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à l'autre. Supposons que nous ayons deux plans: Ax + Boo + Cz + D = 0 et A¹x + Bуy + Czz + D = 0. Nous pouvons dire qu'ils seront perpendiculaires si cosφ = 0. Cela signifie que NN¹ = AA + + BB¹ + CC¹ = 0.

L'équation d'un plan parallèle

Parallèlement, deux plans ne contiennent pas de points communs.

La condition du parallélisme des plans (leurs équations sont les mêmes que dans le paragraphe précédent) est que les vecteurs N et N1, qui sont perpendiculaires à eux, sont colinéaires. Et cela signifie que les conditions de proportionnalité suivantes sont satisfaites:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

Si les conditions de proportionnalité sont étendues – A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹,

Cela indique que ces plans coïncident. Cela signifie que les équations Ax + Boo + Cz + D = 0 et A¹x + Bуy + Czz + D¹ = 0 décrivent un plan.

Distance à l'avion du point

Supposons que nous ayons un plan Π, qui est donné par l'équation (0). Il est nécessaire de trouver avant la distance du point avec les coordonnées (xₒ, yₒ, zₒ) = Q . Pour ce faire, nous devons réduire l'équation de l'avion Π à la forme normale:

(Ρ, v) = p (p≥0).

Dans ce cas, ρ (x, y, z) est le vecteur de rayon de notre point Q situé sur II, p est la longueur de la perpendiculaire P qui a été relâchée du point zéro, v est le vecteur unitaire situé dans la direction de a.

La différence ρ – ρ du rayon de n'importe quel point Q = (x, y, z) appartenant à Π, et aussi le vecteur de rayon du point donné Q ₀ = (xₒ, yₒ, zₒ) est un vecteur dont la projection absolue sur V est égal à la distance d, qui doit être trouvée de Q ₀ = (xₒ, yₒ, zₒ) à Π:

D = | (ρ-ρ ⁰ , v) |, mais

(Ρ-ρ ⁰ , v) = (ρ, v) – (ρ ⁰ , v) = ρ – (ρ ⁰ , v).

Il s'avère donc que,

D = | (ρ ⁰ , v) -p |.

Maintenant, nous voyons que, pour calculer la distance d de Q ₀ au plan II, nous devons utiliser la forme normale de l'équation du plan, puis le transférer vers le côté gauche de p, et remplacer (xp, yp, zp) au lieu de x, y, z.

Ainsi, nous trouvons la valeur absolue de l'expression résultante, c'est-à-dire la d souhaitée.

En utilisant la langue des paramètres, nous obtenons l'évidence:

D = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Si le point donné Q ₀ est de l'autre côté du plan II, comme l'origine, alors entre le vecteur ρ-ρ ⁰ et v il y a un angle obtus, donc:

D = – (ρ-ρ ⁰ , v) = (ρ ⁰ , v) -p> 0.

Dans le cas où le point Q ₀ avec l'origine des coordonnées est situé sur le même côté de II, l'angle créé est aigu, c'est-à-dire:

D = (ρ-ρ ⁰ , v) = ρ – (ρ ⁰ , v)> 0.

En conséquence, il s'avère que dans le premier cas (ρ ⁰ , v)> p, dans le second cas (ρ ⁰ , v) <p.

Le plan tangent et son équation

Le plan tangent à la surface au point de tangence M0 est le plan contenant toutes les tangentes possibles aux courbes tirées par ce point sur la surface.

Avec cette forme de l'équation de surface F (x, y, z) = 0, l'équation du plan tangent au point tangent M0 (x, y, z0) ressemblera à ceci:

Fx ( _x °, yo, z0) (x – x0) + Fx (x0, y0, z0) (y – y0) + Fx (x0, y0, z0) (z-z0) = 0.

Si on définit la surface sous la forme explicite z = f (x, y), alors le plan tangent sera décrit par l'équation:

Z – z0 = f (x0, y0) (x – x0) + f (x0, y0) (y – y0).

Intersection de deux avions

Dans l' espace tridimensionnel, le système de coordonnées (rectangulaire) Oxyz est situé, deux plans П 'et П "sont donnés, qui se croisent et ne coïncident pas. Puisque tout plan dans un système de coordonnées rectangulaire est défini par une équation générale, on suppose que Π 'et Π "sont donnés par les équations A'x + B'y + C'z + D' = 0 et A" x + B "y + Avec "z + D" = 0. Dans ce cas, on a le n 'normal (A', B ', C') du plan II 'et le n normal "(A", B ", C") du plan II ". Comme nos avions ne sont pas parallèles et ne coïncident pas, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. En utilisant la langue des mathématiques, nous pouvons écrire cette condition comme suit: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * B ", λ * C"), λεR. Laissez la ligne qui se trouve à l'intersection de П 'et П "soit désignée par a, auquel cas a = П' ∩ П".

A est une ligne consistant en l'ensemble de tous les points des avions (communs) II 'et II ". Cela signifie que les coordonnées de n'importe quel point appartenant à la ligne a doivent simultanément satisfaire les équations A'x + B'y + C'z + D '= 0 et A "x + B" y + C "z + D" = 0. Par conséquent, les coordonnées du point seront une solution particulière du système d'équations suivant:

En conséquence, il s'avère que la solution (commune) de ce système d'équations déterminera les coordonnées de chacun des points de droite, qui agira comme point d'intersection de P 'et P ", et déterminera la ligne droite a dans le système de coordonnées Oxyz (rectangulaire) dans l'espace.