Pendule: période et de l'accélération de formule

Le système mécanique qui se compose d'un point matériel (le corps), qui se bloque sur un filament inextensible en apesanteur (sa masse est négligeable par rapport au poids du corps) dans un champ gravitationnel uniforme, appelé le pendule mathématique (autre nom – l'oscillateur). Il existe d'autres types d'appareils. Au lieu d'un filament tige en état d'apesanteur peut être utilisé. Pendule peut révéler clairement l'essence de nombreux phénomènes intéressants. Lorsque de petites vibrations d'amplitude de son mouvement est appelée harmonique.

Informations générales sur le système mécanique

La formule de la période d'oscillation du pendule a été élevé Huygens scientifique hollandais (1629-1695 gg.). Ce contemporain d'Isaac Newton était très friands du système mécanique. En 1656, il a créé la première montre avec un mécanisme de pendule. Ils ont mesuré le temps avec une précision extrême pour ces temps. Cette invention a été une étape importante dans le développement d'expériences physiques et des activités pratiques.

Si le pendule est en position d'équilibre (suspendu verticalement), la force de gravité sera équilibrée par la force de tension du fil. pendule plat sur un fils non extensible est un système à deux degrés de liberté de communication. Lors d'un changement qu'un élément de modifier les caractéristiques de toutes ses parties. Par exemple, si un fil est remplacé par une tige, alors ce système mécanique est seulement 1 degré de liberté. Qu'est-ce donc, les propriétés d'un pendule mathématique? Dans ce système simple, sous l'influence d'une perturbation périodique, le chaos apparaît. Dans ce cas, lorsque le point de suspension ne se déplace pas, et un pendule oscille il y a une nouvelle position d'équilibre. Si les fluctuations rapides de haut en bas ce système mécanique devient position stable « à l'envers. » Il a également son nom. Il est appelé le pendule Kapitza.

Les propriétés du pendule

Pendulum a des propriétés très intéressantes. Ils sont tous pris en charge par des lois physiques bien connues. La période d'oscillation du pendule tout autre dépend de différents paramètres tels que la taille et la forme du corps, la distance entre le point de suspension et le centre de gravité, la distribution de poids par rapport à ce point. Voilà pourquoi la définition de la période suspendue du corps est tout à fait difficile. Est beaucoup plus facile de calculer la période d'un pendule simple, dont la formule est donnée ci-dessous. En raison de l'observation de ces motifs peuvent être réglés sur les systèmes mécaniques similaires:

• Si, tout en maintenant la même longueur du pendule, suspendue à une variété de charges, la période de l'oscillation obtenir le même, bien que leur poids varie considérablement. Par conséquent, la période du pendule ne dépend pas du poids de la charge.

• Si le système commence à décliner dans le pendule est pas trop grand, mais sous des angles différents, il fluctuent à la même période, mais à différentes amplitudes. Alors que les écarts par rapport au centre de l'équilibre ne sont pas des fluctuations trop importantes dans leur forme seront assez proches harmoniques. La durée d'un tel pendule ne dépend pas de l'amplitude de vibration. Cette propriété du système mécanique est appelé isochronisme (en grec « Chronos » – temps « Izosov » – égale).

La période d'un pendule simple

Ce chiffre représente la période d'oscillation naturelle. En dépit de la formulation complexe, le processus lui-même est très simple. Si la longueur du pendule mathématique fil L, et l'accélération gravitationnelle g, cette valeur est égale:

T = 2π√L / g

Petite période d'oscillations naturelles en aucun cas ne dépend pas de la masse du pendule et l'amplitude d'oscillation. Dans ce cas, comme un pendule mathématique se déplace avec une longueur réduite.

Oscillations d'un pendule mathématique

pendule oscille mathématique, qui peut être décrit par une équation différentielle simple:

x + ω2 sin x = 0,

où x (t) – Fonction inconnue (cet angle de déviation de la position inférieure de l'équilibre au temps t, exprimé en radians); ω – une constante positive qui est déterminée à partir des paramètres du pendule (ω = √g / L, où g – l'accélération de la pesanteur, et L – la longueur d'un pendule simple (suspension).

Équation de petites oscillations près de position d'équilibre (équation harmonique) comme suit:

x + ω2 sin x = 0

mouvement oscillatoire du pendule

Pendule, ce qui fait de petites oscillations, le déplacement sinusoïde. Deuxième équation différentielle d'ordre répond à toutes les exigences et les paramètres d'un tel mouvement. Pour déterminer le chemin que vous devez régler la vitesse et les coordonnées qui ont déterminé plus tard des constantes indépendantes:

x = A sin (θ ₀ + wt),

où θ ₀ – phase initiale, A – amplitude de l' oscillation, ω – fréquence cyclique déterminé à partir des équations du mouvement.

Pendule (formule pour de grandes amplitudes)

Ce système mécanique, effectuer leurs oscillations avec une grande amplitude, il est soumis aux lois de la circulation plus complexes. elles sont calculées conformément à la formule pour un tel pendule:

sin x / 2 = u sn * (cot / u),

où sn – sine Jacobi, qui, pour u <1 est une fonction périodique, et pour les petits u il coïncide avec le simple sinus trigonométrique. La valeur de u est déterminé par l'expression suivante:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

où ε = E / ML2 (ML2 – énergie du pendule).

Détermination de la période d'oscillation non linéaire du pendule par la formule suivante:

T = 2π / Ω,

où Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K – intégrale elliptique, π – 3,14.

le mouvement pendulaire de la séparatrice

On appelle trajectoire séparatrice du système dynamique, dans lequel un espace de phase à deux dimensions. Pendule se déplace sur un non-périodique. Dans le point infiniment loin du temps il passe de la position extrême supérieure vers une vitesse nulle, puis il gagne peu à peu. Il a finalement arrêté, revenir à sa position initiale.

Si l'amplitude d'oscillation du pendule se rapproche du nombre pi, on dit que le mouvement dans le plan de phase est proche de la séparatrice. Dans ce cas, sous l'action d'une petite force d'entraînement périodique du système mécanique présente un comportement chaotique.

Dans le cas d'un pendule simple à partir de la position d'équilibre avec un angle cp se produit force tangentielle Fτ = sin φ gravité -mg. signe « moins » signifie que la composante tangentielle dirigée dans la direction opposée à la direction de la déviation du pendule. Lorsqu'il est fait référence par l'intermédiaire d'un déplacement pendulaire x le long d'un arc de cercle avec un rayon L est égal à son déplacement angulaire φ = x / L. La seconde loi Isaaka Nyutona, conçu pour la projection du vecteur d'accélération et de force donner la valeur de consigne:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Sur la base de ce rapport, il est clair que le pendule est un système non linéaire, comme une force qui tend à revenir à sa position d'équilibre, ne sont pas toujours proportionnelle au déplacement x, a sin x / L.

Seulement lorsque le pendule mathématique effectue de petites vibrations, il est un oscillateur harmonique. En d'autres termes, il devient un système mécanique capable d'effectuer des oscillations harmoniques. Cette approximation est valable pour des angles presque 15-20 °. Pendule avec de grandes amplitudes ne sont pas harmonieux.

La loi de Newton pour les petites oscillations d'un pendule

Si le système mécanique effectue des petites oscillations, la loi de Newton 2 ressemblera à ceci:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Sur cette base, nous pouvons conclure que l'accélération tangentielle d'un pendule simple est proportionnelle à son déplacement avec le signe « moins ». Ceci est une condition selon laquelle le système devient un oscillateur harmonique. facteur de proportionnalité de module entre le déplacement et l'accélération est égale au carré de la fréquence angulaire:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Cette formule reflète la fréquence naturelle des petites oscillations de ce type de pendule. Sur cette base,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Les calculs basés sur la loi de conservation de l'énergie

oscillant mouvements pendulaires propriétés peuvent être décrits avec l'aide de la loi de conservation de l'énergie. Il convient de garder à l' esprit que l'énergie potentielle du pendule dans un champ gravitationnel est:

E = mgΔh = mgL (1 – cos α) = α mgL2sin2 / 2

La pleine énergie mécanique est égale au potentiel cinétique et maximum: Epmax = Ekmsx = E

Après avoir écrit la loi de conservation de l'énergie, en prenant la dérivée des côtés gauche et droit de l'équation:

Ep + Ek = const

Étant donné que le dérivé de la constante est égale à 0, alors (Ep + Ek) « = 0. Le dérivé de la somme est égale à la somme des dérivées:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (MV2 / 2) = m / 2 (v2) « = m / 2 * 2v * v « = mv * α,

Par conséquent:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + α m) = 0.

Sur la base de la dernière formule, on trouve: α = – g / L * x.

Application pratique du pendule mathématique

L' accélération de la chute libre varie selon la latitude, parce que la densité de la croûte autour de la planète ne sont pas identiques. Où les roches se produisent avec une densité plus élevée, il sera légèrement plus élevé. L'accélération du pendule mathématique est souvent utilisé pour l'exploration. Dans son aspect d'aide pour les différents minéraux. simplement compter le nombre d'oscillations d'un pendule, il est possible de détecter le charbon ou le minerai dans les entrailles de la Terre. Cela est dû au fait que ces ressources ont une densité et le poids de plus que le mensonge sous les éboulis.

pendule mathématique utilisé par ces éminents savants comme Socrate, Aristote, Platon, Plutarque, Archimedes. Beaucoup d'entre eux pensaient que le système mécanique peut influer sur le sort et la vie. Archimedes utilisé le pendule mathématique avec ses calculs. De nos jours, de nombreux occultistes et médiums utilisent ce système mécanique pour la mise en œuvre de ses prophéties, ou la recherche de personnes disparues.

Le célèbre astronome et scientifique français, pour leurs recherches FLAMMARION utilisés aussi un pendule mathématique. Il a affirmé qu'avec son aide, il a pu prédire la découverte d'une nouvelle planète, l'émergence de la météorite Tunguska, et d'autres événements importants. Au cours de la Seconde Guerre mondiale en Allemagne (Berlin) a travaillé comme un institut spécialisé du pendule. De nos jours, ces recherches ne sont pas disponibles Institut de Munich parapsychologie. Son travail avec le pendule du personnel de cette institution appelée « radiesteziey ».