Le dérivé du sinus de l'angle est égal au cosinus de l'angle même

Dana fonction trigonométrique simple, y = sin (x), est différentiable en chaque point de l'ensemble du domaine. Il faut prouver que le dérivé du sinus de l' un des arguments est égal au cosinus de même angle, qui est, « = cos (x).

La preuve est basée sur la définition d'une fonction dérivée

Nous définissons x (arbitraires) dans un petit voisinage d'un point particulier x _{0 Dh.} Nous montrerons la valeur de fonction, et au point x pour trouver l'incrément d'une fonction donnée. Si Ah – l' argument incrémenté, le nouvel argument – ce x ₀ + Dx = x, est égale Sin (x ₀ + Dx), la valeur de fonction de la valeur de cette fonction pour une valeur donnée de l'argument (x) en un point spécifique (x ₀₎ est également connu .

Maintenant , nous avons Δu = Sin (x ₀ + Dh) -Sin (x ₀₎ – fonction d'incrémentation obtenue.

Selon la formule de somme sinus de deux angles inégaux nous convertirons la différence Δu.

Δu = sin (x ₀₎ · cos (AH) + cos (x ₀₎ · sin (Dx) moins Sin (x ₀₎ = (cos (Dx) -1 ) · sin ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · sin (AH).

Les permutations effectuées groupées première à la troisième Sin (x _0), pris sur le facteur commun – sine – les crochets. Nous avons reçu dans l'expression différence Cos (Dh) -1. Il a laissé à changer le signe devant la parenthèse et entre parenthèses. Savoir ce qui est le 1-Cos (Dh), nous faisons le changement et d'obtenir une expression simplifiée Δu, qui est ensuite divisé par Dh.
Δu / Ah aura la forme: cos (x ₀₎ · sin (AH) / Ah 2 · sin ² (0,5 x AH) · sin (x ₀₎ / Ah. Ceci est le rapport de l'augmentation de la fonction à l'admission à l'incrément de l'argument.

Il reste à trouver la limite des rapports obtenus par nous pendant lim Dh, tendant vers zéro.

Il est connu que la limite Sin (AH) / Ax est égal à 1, à la condition. Et l'expression 2 · sin ² (0,5 x AH) / Ah dans la somme résultante transformations particulières au produit contenant en tant que première limite remarquable multiplicateur: le numérateur de la fraction et znemenatel diviser par 2, le carré du sinus de remplacer le produit. Voici comment:
(Sin (0,5 · Dx) / (0,5 · Dx)) · sin (Ax / 2).
La limite de cette expression lorsque Ah tend vers zéro, sera égal au nombre de zéro (0 multiplié par 1). Il se trouve que la limite du rapport Ay / Ah est cos (x ₀₎ · 1-0, cela est cos (x _0), dont l'expression est indépendante de Ah tendant à 0. La conclusion: le dérivé du sinus d'un angle est égal à x cosinus de x, on peut écrire: y « = cos (x).

La formule obtenue est indiquée dans le tableau des dérivés connus, où toutes les fonctions élémentaires

Dans la résolution de problèmes, où il rencontre le dérivé du sinus, vous pouvez utiliser les règles de différenciation et de formules toutes faites de la table. Par exemple: trouver la dérivée de la fonction simple y = 3 · sin (x) -15. Nous utilisons les règles de dérivation élémentaire retrait facteur numérique pour le signe du dérivé et calcule le nombre constant dérivé (qui est égal à zéro). Appliquer une valeur de la table sinus de la dérivée de l'angle x égal cos (x). Recevoir la réponse: y « = 3 cos (x) -O. Ce dérivé, à son tour, est également une fonction élémentaire y = H · cos (x).

Le dérivé de sinus au carré de tout argument

Dans le calcul de l'expression (Sin ² (x)) « doit se rappeler comment fonction complexe différenciée. Donc, ² = sin (x) – est une fonction sinusoïdale de puissance au carré. Son argument est également une fonction trigonométrique, un argument complexe. Le résultat dans ce cas est égal au produit du premier multiplicateur est un carré du dérivé complexe de l'argument, et le second – le dérivé du sinus. Voici la règle pour différencier une fonction d'une fonction: (u (v (x))) 'est (u (v (x)))' · (v (x)). L'expression de v (x) – un argument complexe (fonction interne). Si la fonction donnée "y est égale au carré du sinus x", alors la dérivée de cette fonction composite est y « = 2 · sin (x) · cos (x). Le produit du premier multiplicateur doublé – dérivé connu de la fonction exponentielle, et cos (x) – sinus dérivé argumentation complexe de la fonction quadratique. Le résultat final peut être transformé en utilisant la formule du sinus trigonométrique de l'angle double. A: Le dérivé est Sin (2 · x). Cette formule est facile à retenir, il est souvent utilisé comme une table.