Les nombres réels et leurs propriétés

Pythagore a affirmé que le nombre est le fondement du monde sur un pied d'égalité avec les principaux éléments. Platon croyait que le nombre de liens du phénomène et le noumène, aider à connaître, à peser et de tirer des conclusions. Arithmétique vient du mot « arifmos » – le numéro, le point de départ en mathématiques. Il est possible de décrire un objet – de l'élémentaire à des espaces abstraits de la pomme.

Besoins en tant que facteur de développement

Dans les premiers stades de développement de la société aux besoins des personnes contraintes par la nécessité de garder note – .. Un sac de grain, deux sacs de céréales, etc. Pour ce faire, il a été nombres naturels, dont l'ensemble est une suite infinie d'entiers positifs N.

Plus tard, le développement des mathématiques en tant que science, il était nécessaire dans le domaine spécifique des entiers Z – il comprend des valeurs négatives et zéro. Son apparition au niveau national, il a été provoqué par le fait que la comptabilisation initiale devait fixer en quelque sorte les dettes et les pertes. Sur le plan scientifique, les nombres négatifs ont permis de résoudre de simples équations linéaires. Entre autres, il est maintenant possible à l'image d'un système de coordonnées trivial, par exemple. R. Il y avait un point de référence.

L'étape suivante a été la nécessité d'entrer des nombres fractionnaires, puisque la science ne se distingue pas encore, les découvertes de plus en plus nouvelles ont exigé une base théorique pour une nouvelle croissance de poussée. Il y avait donc un champ de nombres rationnels Q.

Enfin, ne répondent plus aux exigences de la rationalité, parce que toutes les nouvelles découvertes doivent être justifiées. Il y avait un champ de nombres réels R, les œuvres de l'incommensurabilité d'Euclide de certaines quantités en raison de leur irrationalité. Autrement dit, l'ancien mathématicien grec positionné nombre non seulement comme une constante, mais comme une valeur abstraite qui se caractérise par le rapport des grandeurs incommensurables. En raison du fait qu'il ya des nombres réels, « nous avons vu la lumière » des valeurs telles que « pi » et « e », sans laquelle les mathématiques modernes ne pouvaient pas eu lieu.

La dernière innovation est un nombre complexe C. Il a répondu à une série de questions et réfutée postulats précédemment saisis. En raison du développement rapide des résultats de l'algèbre était prévisible – avec des nombres réels, la décision de nombreux problèmes n'a pas été possible. Par exemple, grâce aux nombres complexes ressortaient la théorie des cordes et des équations du chaos élargi de hydrodynamisme.

La théorie des ensembles. chantre

Le concept de l'infini a toujours suscité la controverse, car il était impossible de prouver ou d'infirmer. Dans le contexte des mathématiques, qui est exploité strictement vérifié postulats, elle se manifeste le plus évident, plus que l'aspect théologique encore pesé dans la science.

Cependant, à travers le travail du mathématicien Georg Cantor tous les temps est tombé en place. Il a prouvé que les ensembles infinis il y a un ensemble infini, et que le champ R est supérieure à la N champ, laissez les deux et sans fin. Au milieu du XIXe siècle, ses idées publiquement appelé un non-sens et un crime contre les canons immuables classiques, mais le temps de tout mettre à sa place.

Les propriétés de base du domaine R

Les chiffres réels ont non seulement les mêmes propriétés que le podmozhestva qu'ils comprennent, mais sont complétées par d'autres masshabnosti en vertu de ses éléments:

• Zéro R. existe et appartient au champ c + c = 0 pour tout c de R.
• Zéro existe et appartient au R. champ c x 0 = 0 pour tout c de R.
• Le rapport c: d où d ≠ 0 existe et est valable pour tout c, d de R.
• Champ R ordonné, à savoir si c ≤ d, d ≤ c, alors c = d pour chaque c, d de R.
• L'addition dans le champ R est commutatif, à savoir c + d = d + c, pour tout c, d de R.
• Multiplication dans le domaine R est commutatif, à savoir x c x d = d c pour tous les c, d de R.
• L'addition dans le champ R est associative à-dire (c + d) + f + c = (d + f) pour tout c, d, f R.
• Multiplication dans le domaine R est associative à-dire (c x d) x f = c x (D x f) pour tout c, d, f R.
• Pour chaque numéro de champ R opposée à là, de telle sorte que c + (C) = 0, où c, -c de R.
• Pour chaque numéro de champ R existe son inverse, de telle sorte que c x c ^-1 = 1 où c, c ^-1 R.
• Unité existe et appartient à R, de sorte que les c x 1 = c, pour tout c de R.
• Il a la distribution de la loi de puissance, de sorte que c x (d + f) = c x d + c x f, pour tout c, d, f R.
• Le champ de R est égale à zéro est pas égal à l'unité.
• Domaine R est transitive: si c ≤ d, d ≤ f, alors c ≤ f pour tout c, d, f R.
• Dans l'ordre de R et de plus sont reliés entre eux: si c ≤ d, alors c + f ≤ d + f pour tout c, d, f R.
• Dans l'ordre de R et de multiplication lié: si 0 ≤ c, 0 ≤ d, 0 ≤ c alors x d pour chaque c, d de R.
• Comme les nombres réels positifs et négatifs sont continues, à savoir, pour chaque c, d de R f, il existe de R, que c ≤ f ≤ d.

champ Module R

Les nombres réels comprennent une telle chose comme un module. Désigné comme le | f | pour tout f R. | f | = F, si 0 ≤ f et | f | = -f, si 0> f. Si l'on considère le module comme une valeur géométrique, il est une distance – peu importe, « passé » vous zéro dans le négatif au positif ou vers l'avant.

Les nombres complexes et réels. Quelles sont les similitudes et les différences?

En gros, les nombres complexes et réels – ils sont l'un et le même, sauf que la première rejoint l'unité imaginaire i, dont le carré est égal à de -1. Éléments champs R et C peuvent être représentés par la formule suivante:

• c = d + f i x, dans lequel d, f appartiennent au domaine R, et i – unité imaginaire.

Pour obtenir le c de R f dans ce cas, tout simplement supposé nul, à savoir, il n'y a que la partie réelle du nombre. Parce que le domaine des nombres complexes a les mêmes fonctionnalités que le champ de réel, f x i = 0 si f = 0.

En ce qui concerne les différences pratiques, par exemple dans le domaine R équation quadratique ne peut pas être résolu si le discriminant est négatif, alors que la boîte de C ne prévoit pas cette limitation en introduisant l'unité imaginaire i.

résultats

« briques » d'axiomes et de postulats sur lesquels les mathématiques de base, ne changent pas. Certains d'entre eux en raison de l'augmentation de l'information et l'introduction de nouvelles théories placé les suivantes « briques », qui à l'avenir peut devenir la base pour l'étape suivante. Par exemple, des nombres naturels, en dépit du fait qu'ils sont un sous-ensemble du champ réel R, ne perd pas sa pertinence. Il est de leur base de toute l'arithmétique élémentaire, qui commence par la connaissance d'un homme de paix.

D'un point de vue pratique, les nombres réels ressemblent à une ligne droite. Il est possible de choisir une direction, d'identifier l'origine et la hauteur. Direct se compose d'un nombre infini de points, dont chacun correspond à un nombre réel unique, peu importe si oui ou non rationnel. D'après la description , il est clair que nous parlons du concept, qui est basé mathématiques en général, et l' analyse mathématique en particulier.