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L'intégrale indéfinie. Calcul des intégrales indéfinies

L'une des sections fondamentales de l'analyse mathématique est le calcul intégral. Il couvre un champ très large d'objets, où le premier – il est l'intégrale indéfinie. Position il se présente comme une clé qui est encore à l'école secondaire révèle un nombre croissant de perspectives et opportunités, qui décrit les mathématiques supérieures.


apparence

À première vue, il semble tout à fait partie intégrante de moderne, d' actualité, mais dans la pratique , il se trouve qu'il est revenu en 1800 av. Abritant officiellement considéré comme l'Egypte ne nous est parvenue plus tôt la preuve de son existence. Il en raison du manque d'information, tout en positionné comme un simple phénomène. Il confirme une nouvelle fois le niveau de développement scientifique des peuples de cette époque. Enfin, les travaux ont été trouvés les anciens mathématiciens grecs, datant du 4ème siècle avant JC. Ils décrivent la méthode utilisée lorsque l'intégrale indéfinie, dont l'essence est de trouver le volume ou la surface d'une forme curviligne (plan en trois dimensions et à deux dimensions, respectivement). le calcul est basé sur le principe de la division de la figure originale en composants infinitésimales, à condition que le volume (zone) est déjà connu pour eux. Au fil du temps, la méthode a grandi, Archimedes utilisé pour trouver la zone d'une parabole. Des calculs semblables en même temps d'effectuer des exercices dans la Chine ancienne, où ils étaient complètement indépendants de la science du camarade grec.

développement

La prochaine percée dans le XI siècle avant notre ère est devenu le travail du « wagon » savant arabe Abu Ali al-Basri, qui a repoussé les limites du déjà connu, sont dérivés de la formule intégrale pour le calcul des sommes des montants et des degrés de la première à la quatrième, l'application de ce que nous connaissons procédé induction.
Les esprits d'aujourd'hui sont admirés par les anciens Egyptiens ont créé les monuments étonnants sans aucun outil spécial, sauf celui de leurs propres mains, mais est est pas une puissance des savants fous de l'époque pas moins un miracle? Par rapport aux temps actuels de leur vie semble presque primitive, mais la décision de indéfinies Intégrales déduite partout et utilisé dans la pratique pour le développement ultérieur.

L'étape suivante a eu lieu au XVIe siècle, lorsque le mathématicien italien Cavalieri a méthode indivisible, qui a pris par Ferma. Ces deux personnalité a jeté les bases pour le calcul intégral moderne, qui est connu pour le moment. Ils ont attaché les concepts de différenciation et de l'intégration, qui étaient auparavant considérés comme des unités autonomes. En gros, les mathématiques de cette époque était des particules fragmentaires découvertes existent par eux-mêmes, avec une utilisation limitée. Moyen d'unir et de trouver un terrain d' entente était le seul vrai pour le moment, grâce à lui, moderne analyse mathématique ont eu l'occasion de grandir et de se développer.

Avec le passage du temps change tout et le symbole intégral aussi bien. En gros, il a été désigné scientifiques qui, à sa manière, par exemple, Newton utilisé une icône carrée, qui a mis une fonction intégrable, ou tout simplement mis en place. Cette disparité a duré jusqu'au XVII siècle, quand un point de repère pour toute la théorie du scientifique de l'analyse mathématique Gotfrid Leybnits introduit un personnage familier. Allongée « S » est en fait basé sur cette lettre de l'alphabet romain, étant donné que représente la somme des primitives. Le nom de l'intégrale obtenue grâce à Jakob Bernoulli, après 15 ans.

La définition formelle

L'intégrale indéfinie dépend de la définition de la primitive, si l'on considère en premier lieu.

Antidérivé – est la fonction inverse de la dérivée, dans la pratique, il est appelé primitive. Dans le cas contraire: fonction primitive de d – D est une fonction qui est la dérivée v V « = v. La recherche est primitive pour calculer l'intégrale indéfinie, et le processus lui-même est appelé intégration.

exemple:

de la fonction (l'y) = y 3, et sa primitive S (y) = (y 4/4).

L'ensemble des primitives de la fonction – ce qui est une intégrale indéfinie, il notée comme suit: ∫V (x) dx.

En vertu du fait que V (x) – sont uniquement une fonction primitive, l'expression est vérifiée: ∫V (x) dx = V (x) + C, où C – constante. En vertu de la constante arbitraire fait référence à une constante quelconque, étant donné que sa dérivée est nulle.

propriétés

Les propriétés possédées par l'intégrale indéfinie, essentiellement basés sur la définition et les propriétés des produits dérivés.
Tenez compte des points clés:

  • dérivé intégrante de la primitive est elle-même plus une primitive (x) C ∫V constante arbitraire » dx = V (x) + C;
  • dérivé de l'intégrale d'une fonction est la fonction d'origine (∫V (x) dx) « = v (x);
  • est prise constante de sous le signe de l'intégrale ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx où k – est arbitraire;
  • intégral, qui est prise à partir de la somme de la identiquement égal à la somme des intégrales ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫V (y) dy + ∫w (y) dy.

Les deux dernières propriétés peuvent être conclus que l'intégrale indéfinie est linéaire. En raison de cela, nous avons: ∫ (kv (y) dy + ∫ pv (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Pour voir des exemples de solutions de fixation intégrales indéfinies.

Vous devez trouver le ∫ intégral (3sinx + 4cosx) dx:

  • ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx – 3cosx + C.

Dans l'exemple, nous pouvons conclure que vous ne savez pas comment résoudre intégrales indéfinies? Il suffit de trouver toutes les primitives! Mais la recherche des principes énoncés ci-dessous.

Méthodes et exemples

Afin de résoudre l'intégrale, vous pouvez recourir aux méthodes suivantes:

  • prêt à profiter de la table;
  • l'intégration par parties;
  • intégré en remplaçant la variable;
  • résumant sous le signe de l'écart.

tables

La façon la plus simple et agréable. À l'heure actuelle, l'analyse mathématique peut se vanter tables assez vastes, qui définissait la formule de base de intégrales indéfinies. En d'autres termes, il existe des modèles dérivés à vous et vous ne pouvez en tirer profit. Voici la liste des principales positions de table, qui peuvent être affichés pratiquement tous les cas, a une solution:

  • ∫0dy = C, où C – constante;
  • ∫dy = y + C, où C – constante;
  • ∫y n dy = (y n + 1) / (n + 1) + C, où C – une constante et n – nombre différent de l' unité;
  • ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, où C – constante;
  • ∫e y dy = e y + C , où C – constante;
  • ∫k y dy = (k y / ln k) + C, où C – constante;
  • ∫cosydy = siny + C, où C – constante;
  • ∫sinydy = -cosy + C, où C – constante;
  • ∫dy / cos 2 y = GTY + C, où C – constante;
  • ∫dy / sin y = 2 -ctgy + C, où C – constante;
  • ∫dy / (1 + y 2) = arctgy + C, où C – constante;
  • ∫chydy = timide + C, où C – constante;
  • ∫shydy = CHy + C, où C – constante.

Si nécessaire, faire quelques marches mènent à une vue integrand tabulaire et profiter de la victoire. EXEMPLE: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x – 2) d (5x – 2) = 1/5 x sin (5x – 2) + C.

Selon la décision, il est clair que par exemple un integrand de table manque multiplicateur 5. Nous ajoutons en parallèle avec cette multiplication par 1/5 à l'expression générale n'a pas changé.

Intégration par les parties

Considérons deux fonctions – z (y) et x (y). Ils doivent être différentiables en continu sur son domaine. Dans une des propriétés de différenciation que nous avons: d (XZ) = XDZ + ZDX. L'intégration des deux côtés, nous obtenons: ∫d (XZ) = ∫ (XDZ + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Réécriture l'équation résultante, nous obtenons la formule qui décrit la méthode d'intégration par parties: ∫zdx = zx – ∫xdz.

Pourquoi est-il nécessaire? Le fait que certains des exemples, il est possible de simplifier, disons, pour réduire ∫xdz ∫zdx, si celui-ci est proche de la forme de tableau. En outre, cette formule peut être utilisée plus d'une fois, pour des résultats optimaux.

Comment résoudre cette façon indéfinie Intégrales:

  • nécessaire de calculer ∫ (s + 1) e 2s ds

∫ (x + 1) e 2s ds = {z = s + 1, DZ = ds, y = 1 / 2e 2s, dy = e 2 x ds} = ((s + 1) 2s e) / 2-1 / 2 ∫e 2s dx = ((s + 1) e 2 s) / 2-e 2 s / 4 + C;

  • doit calculer ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, s, y = dy = ds} = SLNS – ∫s x ds / s = SLNS – ∫ds = SLNS -s + C = S (LNS-1) + C.

Remplacement de la variable

Ce principe de la résolution Intégrales indéfinie ne sont pas moins en demande que les deux précédents, bien que compliquée. La méthode est la suivante: Soit V (x) – l'intégrale d'une fonction V (x). Dans le cas où elle-même intégrée dans l'exemple slozhnosochinenny vient, est susceptible de se confondre et descendre les solutions de mauvais chemin. Pour éviter ce changement de pratique de la variable x à z, dans laquelle l'expression générale visuellement simplifiée tout en maintenant le z en fonction de x.

En termes mathématiques, cela est la suivante: ∫V (x) dx = ∫V (y (z)) y « (z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), où x = y ( z) – substitution. Et, bien entendu, la fonction inverse z = y 1 (x) décrit complètement la relation et la relation entre les variables. Note importante – dx différentiel nécessairement remplacé par un nouveau dz différentiel, étant donné que le changement de variable dans l'intégrale indéfinie consiste à remplacer partout, pas seulement dans le integrand.

exemple:

  • doit trouver ∫ (s + 1) / (s + 2 2s – 5) ds

Appliquer la substitution z = (s + 1) / (s 2 + 2s-5). Ensuite, dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds (s + 1) ds = dz / 2. En conséquence, l'expression suivante, qui est très facile à calculer:

∫ (s + 1) / (2 + de 2 s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s 2 + 2s-5 | + C;

  • vous devez trouver l'intégrale ∫2 s e s dx

Pour résoudre le rewrite sous la forme suivante:

∫2 e de s ds = ∫ ( la 2e) de ds.

On note a = 2e (remplacement de l'argument de cette étape est pas, il est encore s), nous donnons notre intégrale apparemment compliquée à la forme de tableaux de base:

∫ (2e) s ds = ∫A s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 s e s / ln (2 + lne) + C = 2 s e de s / (LN2 + 1) + C.

En résumé un signe différentiel

En gros, cette méthode de indéfinies Intégrales – le frère jumeau du principe du changement de variable, mais il existe des différences dans le processus d'inscription. Considérons plus en détail.

Si ∫V (x) dx = V (x) + C et y = z (x), puis ∫V (y) dy = V (y) + C.

En même temps, il ne faut pas oublier les transformations intégrales triviales, parmi lesquels:

  • dx = d (x + a), et dans lequel – chaque constante;
  • dx = (1 / a) d (ax + b), où a – à nouveau constant, mais pas égal à zéro;
  • xdx = 1 / 2D (x 2 + b);
  • sinxdx = -d (cosx);
  • cosxdx = d (sinx).

Si l'on considère le cas général où l'on calcule les exemples intégrale indéfinie, peuvent être inclus dans la formule générale w « (x) dx = dw (x).

Exemples:

  • doit trouver ∫ (2s + 3) 2 DS, DS = 1 / (2s 2d + 3)

∫ (2s + 3) 2 ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2 d (2s + 3) = (1/2) x ((2S + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C.

Aide en ligne

Dans certains cas, la faute qui peut devenir ou la paresse, ou un besoin urgent, vous pouvez utiliser les invites en ligne, ou plutôt, d'utiliser une calculatrice indéfinies Intégrales. Malgré la complexité apparente et la nature controversée des Intégrales, la décision est soumise à leur algorithme spécifique, qui est basé sur le principe de « si vous ne … alors … ».

Bien sûr, un des exemples particulièrement complexes d'une telle calculatrice ne sera pas maître, comme il y a des cas où une décision doit trouver une artificiellement « forcée » en introduisant certains éléments du processus, car les résultats sont évidents moyens d'atteindre. En dépit de la nature controversée de cette déclaration, il est vrai, comme les mathématiques, en principe, une science abstraite, et son objectif premier considère la nécessité de renforcer les frontières. En effet, pour une course dans les théories lisses est très difficile de se déplacer et évoluer, alors ne présumez pas que les exemples de résolution qui indéfinies Intégrales nous a donné – c'est la hauteur des possibilités. Mais revenons à l'aspect technique des choses. Au moins pour vérifier les calculs, vous pouvez utiliser le service dans lequel il a été écrit pour nous. S'il est nécessaire pour le calcul automatique des expressions complexes, ils ne doivent pas avoir recours à un logiciel plus sérieux. Faut faire attention surtout sur l'environnement Matlab.

application

La décision de indéfinies Intégrales à première vue semble complètement détaché de la réalité, car il est difficile de voir l'utilisation évidente du plan. En effet, directement les utiliser partout où vous ne pouvez pas, mais ils sont un élément intermédiaire nécessaire dans le processus de retrait des solutions utilisées dans la pratique. Ainsi, l'intégration de la différenciation retour, participant ainsi activement au processus de résolution des équations.
À leur tour, ces équations ont un impact direct sur la décision des problèmes mécaniques, le calcul de la trajectoire et la conductivité thermique – bref, tout ce qui constitue le présent et façonner l'avenir. exemples indéfinis intégrale, dont nous avons examinées plus haut, que anodin au premier abord, comme une base pour mener à bien des découvertes de plus en plus de nouvelles.