La série Maclaurin et la décomposition de certaines fonctions

L'élève des mathématiques supérieures devrait savoir que la somme de certaines séries de puissance appartenant à l'intervalle de convergence de la série donnée est une fonction différenciée qui est continue et infiniment de fois. La question se pose: est-il possible d'affirmer qu'une fonction arbitraire donnée f (x) est la somme d'une série de puissance? C'est-à-dire, dans quelles conditions le f-f f (x) peut-il être représenté par une série de puissance? L'importance d'une telle question est qu'il est possible d'remplacer approximativement f-x f (x) par la somme de plusieurs premiers termes de la série de puissance, c'est-à-dire un polynôme. Une telle substitution d'une fonction par une expression plutôt simple – un polynôme – est également pratique pour résoudre certains problèmes d' analyse mathématique, à savoir: dans la résolution des intégrales, dans le calcul des équations différentielles, etc.

Il est prouvé que pour une fonction f (x), dans laquelle il est possible de calculer les dérivées jusqu'à (n + 1) -ordre, y compris la dernière, dans un voisinage de (α – R; X ₀ + R) d'un certain point x = α, la formule suivante est valide:

Cette formule porte le nom de la célèbre scientifique Brooke Taylor. La série obtenue à partir de la précédente est appelée la série Maclaurin:

Une règle qui permet de se décomposer dans une série Maclaurin:

1. Déterminer les dérivées des première, deuxième et troisième … commandes.
2. Calculez ce que les dérivées à x = 0 sont égales.
3. Enregistrez la série Maclaurin pour une fonction donnée, puis déterminez l'intervalle de sa convergence.
4. Déterminer l'intervalle (-R; R), où le reste de la formule Maclaurin

R _n (x) -> 0 comme n → ∞ d'infini. Dans le cas où il existe, la fonction f (x) doit coïncider avec la somme de la série Maclaurin.

Nous considérons maintenant la série Maclaurin pour des fonctions individuelles.

1. Ainsi, le premier est f (x) = e ^x . Bien sûr, en fonction de ses caractéristiques, une telle fonction a des dérivés d'ordres très différents, et f ^(k) (x) = e ^x , où k est égal à tous les nombres naturels. Nous remplaçons x = 0. Nous obtenons f ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 … En partant de ce qui précède, la série e ^x Vous ressemblerez à ceci:

2. La série Maclaurin pour la fonction f (x) = sin x. Nous clarifions immédiatement que la fonction φ pour toutes les inconnues possède des dérivées, en outre, f ^' (x) = cos x = sin (x + n / 2), f ^{' '} (x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) …, f ^(k) (x) = sin (x + k * n / 2), où k est égal à n'importe quel nombre naturel. C'est-à-dire en faisant des calculs simples, on peut en conclure que la série pour f (x) = sin x sera sous la forme:

3. Maintenant, essayons de considérer la fonction f (x) = cos x. Il possède des dérivés d'ordre arbitraire pour toutes les inconnues, et | f ^(k) (x) | = Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 … Encore une fois, en effectuant certains calculs, nous obtenons que la série pour f (x) = cos x ressemblera à ceci:

Ainsi, nous avons énuméré les fonctions les plus importantes qui peuvent être décomposées dans la série Maclaurin, mais elles sont complétées par des séries de Taylor pour certaines fonctions. Maintenant, nous les énumérons. Il est également intéressant de noter que les séries Taylor et Maclaurin sont une partie importante de l'atelier de résolution des séries en mathématiques supérieures. Donc, la série Taylor.

1. La première est la série pour la fonction f (x) = ln (1 + x). Comme dans les exemples précédents, pour un f (x) = ln (1 + x) donné, nous pouvons ajouter une série en utilisant la forme générale de la série Maclaurin. Cependant, pour cette fonction, la série Maclaurin peut être obtenue beaucoup plus simple. En intégrant certaines séries géométriques, on obtient une série pour f (x) = ln (1 + x) d'un tel échantillon:

2. Et la seconde, qui sera définitive dans notre article, sera une série pour f (x) = arctg x. Pour x appartenant à l'intervalle [-1; 1], l'expansion est valide:

C'est tout. Dans cet article, les séries les plus utilisées de Taylor et Maclaurin dans les mathématiques supérieures, en particulier, dans les universités économiques et techniques, ont été considérées.