polyèdres réguliers: éléments de symétrie et de la zone

La géométrie est belle parce que, contrairement à l'algèbre, qui ne sont pas toujours clairement pourquoi et ce que vous pensez, donne un objet visuel. Ce monde merveilleux de divers organismes ornent polyèdres réguliers.

Informations générales sur polyèdres réguliers

Selon beaucoup, polyèdres réguliers, ou comme on les appelle solides platoniciens, possèdent des propriétés uniques. Avec ces objets reliés plusieurs hypothèses scientifiques. Lorsque vous commencez à étudier les données géométriques du corps, vous vous rendez compte que presque ne savent pas quoi que ce soit au sujet d'un tel concept comme polyèdres réguliers. La présentation de ces objets dans l'école est pas toujours intéressant, tant ne me souviens même pas ce qu'ils ont été appelés. À la mémoire de la plupart des gens, il est juste un cube. Aucun de la géométrie du corps ne possède pas une telle perfection que polyèdres réguliers. Tous les noms de ces corps géométriques sont originaires de la Grèce antique. Ils représentent le nombre de faces: le tétraèdre – quatre côtés, hexaèdre – Allen, octaèdre – octogone, dodécaèdre – dodécaèdre, icosaèdre – icosaèdre. Tous ces corps géométriques occupe une place importante dans la conception de Platon de l'univers. Quatre d'entre eux sont réalisés des éléments ou des entités: le tétraèdre – le feu, l'icosaèdre – cube d'eau – la terre, octaèdre – air. Dodécaèdre incarnait toutes les choses. Il était considéré comme le principal, comme un symbole de l'univers.

La généralisation du concept d'un polyèdre

Polyèdre est une collection finie de polygones tels que:

• chacun des côtés de l'un des polygones est à la fois d'un seul côté d'un autre polygone du même côté;
• de chacun des polygones que vous pouvez marcher à l'autre en passant adjacent polygones.

Polygones constituant le polyèdre représentent ses faces et leurs côtés – côtes. sommets de polyèdres sont les sommets des polygones. Si le polygone terme comprend polylignes fermé à plat, puis arriver à une définition d'un polyèdre. Dans le cas où par ce terme, on entend une partie du plan qui est délimité par des lignes brisées, il sera entendu surface se composant de morceaux polygonaux. Polyèdre convexe est appelé le corps allongé sur un côté du plan, à côté de ses faces.

Une autre définition d'un polyèdre et ses éléments

surface appelle polyèdre constitué de polygones, ce qui limite le corps géométrique. Ils sont les suivants:

• non convexe;
• convexe (bien et mal).

polyèdre régulier – est un polyèdre convexe à symétrie maximale. Éléments de polyèdres réguliers:

• Tetrahedron: 6 nervures 4 faces 5 sommets;
• hexaèdre (cube) 12, 6, 8;
• dodécaèdre 30, 12, 20;
• octaèdre 12, 8, 6;
• icosaèdre 30, 20, 12.

Le théorème d'Euler

Il établit une relation entre le nombre d'arêtes, les sommets et les faces sont topologiquement équivalent à une sphère. Ajout du nombre de sommets et de faces (B + D) ont des polyèdres réguliers et en les comparant avec le nombre de nervures, il est possible de définir une règle: la somme du nombre de faces et de sommets est égal au nombre de nervures (P) a augmenté de 2. Vous pouvez afficher une formule simple:

• B + D = P + 2.

Cette formule est valable pour tous les polyèdres convexes.

définitions de base

Le concept d'un polyèdre régulier est impossible de décrire en une phrase. Il est plus apprécié et le volume. Un corps d'être reconnu en tant que tel, il est nécessaire qu'il répond à un certain nombre de définitions. Ainsi, un corps géométrique sera un polyèdre régulier lorsque ces conditions sont remplies:

• il est convexe;
• le même nombre de nervures converge à chacune de ses sommets;
• toutes les facettes de ses – polygones réguliers, égaux entre eux;
• Tous les angles sont égaux dièdre.

Propriétés de polyèdres réguliers

Il y a 5 différents types de polyèdres réguliers:

1. Cube (hexaèdre) – elle a un angle au sommet plat est de 90 °. Il a un angle de 3 côtés. Montant face d'angles au sommet de 270 °.
2. Tetrahedron – angle au sommet plat de – 60 °. Il a un angle de 3 côtés. Montant face d'angles au sommet – 180 °.
3. Octaèdre – angle au sommet plat de – 60 °. Il a un angle à quatre côtés. Montant face d'angles au sommet – 240 °.
4. Dodécaèdre – un angle au sommet plat de 108 °. Il a un angle de 3 côtés. Montant face d'angles au sommet – 324 °.
5. Icosaèdre – il a un angle au sommet plat de – 60 °. Il a un angle à cinq côtés. Montant face d'angles au sommet de 300 °.

La zone de polyèdres réguliers

La surface des corps géométriques (S) est calculée en tant que zone de polygone régulier, multiplié par le nombre de facettes (G):

• S = (a 2) x 2G ctg π / p.

Le volume d'un polyèdre régulier

Cette valeur est calculée en multipliant le volume d'une pyramide régulière dont la base est un polygone régulier, le nombre de faces, et sa hauteur est le rayon inscrit de la sphère (r):

• V = 1: 3RS.

Les volumes de polyèdres réguliers

Comme tous les autres polyèdres solides géométriques, réguliers ont des volumes différents. Voici les formules par lesquelles ils peuvent calculer:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octaèdre: α x 3√2: 3;
• icosaèdre; α x 3;
• hexaèdre (cube): a- x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodécaèdre: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Les éléments de polyèdres réguliers

Hexaèdre et octaèdre sont à double corps géométriques. En d'autres termes, ils peuvent sortir de l'autre dans le cas où le centre de gravité de l'un est considéré comme le sommet de l'autre, et vice versa. Sont également double icosaèdre et dodécaèdre. Lui-même ne tétraèdre est double. Selon la méthode d'Euclide peut être obtenu à partir d'un hexaèdre dodécaèdre en construisant « toits » sur les faces du cube. Les sommets du tétraèdre sont les 4 sommets du cube, et non pas des paires adjacentes le long du bord. De hexagones (cube) peuvent être obtenus, et d'autres polyèdres réguliers. Malgré le fait que des polygones réguliers , il y a d' innombrables, polyèdres réguliers, il y a seulement 5.

Les rayons des polygones réguliers

Avec chacun de ces corps géométriques sont connectés sphères concentriques 3:

• décrit en passant par les sommets;
• inscrite en ce qui concerne chacune de ses faces au milieu de celui-ci;
• médiane en ce qui concerne tous les bords au milieu.

Le rayon de la sphère décrite par la formule suivante est calculé:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Le rayon de la sphère inscrite est calculé comme suit:

• R = a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

où θ – angle dièdre est compris entre les facettes adjacentes.

Le rayon médian de la sphère peut être calculée en utilisant la formule suivante:

• ρ = a cos s / p: 2 sin π / h,

où h = la magnitude de 4,6, 6,10 ou 10. Le rapport entre les rayons des inscrits décrit et symétriquement par rapport à p et q. Il est calculé comme suit:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

La symétrie de polyèdres

La symétrie des polyèdres réguliers est d'un intérêt primordial pour ces corps géométriques. Il est entendu que le mouvement du corps dans l'espace, ce qui laisse le même nombre de sommets, des faces et des arêtes. En d'autres termes, sous l'influence de symétrie transformations bord, un sommet ou une face conserve sa position d'origine, ou se déplace vers la position de départ d'une autre nervure, les autres sommets ou faces.

Les éléments de symétrie des polyèdres réguliers sont communs à tous les types de solides géométriques. Ici, il est effectué sur la transformation d'identité, ce qui laisse l'un des points dans sa position initiale. Donc, lorsque vous tournez le prisme polygonal peut obtenir des symétries. Chacun d'entre eux peut être représenté comme le produit de la réflexion. Symétrie, qui est le produit d'un nombre pair de réflexions, appelé directement. Si elle est le produit d'un nombre impair de réflexions, il est alors appelé rétroaction. Ainsi, tous les tours autour de la ligne représentent la symétrie droite. Toute réflexion polyèdre – est la symétrie inverse.

Pour mieux comprendre les éléments de symétrie des polyèdres réguliers, vous pouvez prendre l'exemple du tétraèdre. Toute ligne qui passe à travers l' un des sommets et le centre de la forme géométrique, aura lieu, et à travers le centre du bord opposé. Chacune des spires autour de la ligne 120 et 240 ° appartient au pluriel symétrie tétraédrique. Comme il 4 sommets et de faces, nous obtenons un total de huit symétries directs. L'une des lignes passant par le milieu des bords et le centre du corps, il passe par le milieu du bord opposé. Toute rotation de 180 °, appelé un demi-tour autour d'une symétrie droite. Depuis le tétraèdre a trois paires de côtes, vous obtenez trois lignes de symétrie. Sur la base de ce qui précède, nous pouvons conclure que le nombre total de symétrie directe, et notamment la transformation d'identité, sera jusqu'à douze. Autre tétraèdre symétrie directe n'existe pas, mais il a 12 symétrie inverse. Par conséquent, seulement 24 caractérisé symétries tétraèdre. Pour plus de clarté, nous pouvons construire un modèle d'un tétraèdre régulier en carton et assurez-vous qu'il est le corps géométrique a vraiment que la symétrie 24.

Dodécaèdre et icosaèdre – le plus proche de la zone du corps. Icosaèdre a le plus grand nombre de faces, l'angle dièdre et la plupart de tous peuvent adhérer fermement à la sphère inscrite. Dodécaèdre a le plus grand angle solide de défaut angulaire la plus faible au niveau du sommet. Il peut maximiser remplir la sphère circonscrite.

balayage polyèdres

balayage régulier polyèdres, que nous avons tous coincés ensemble dans l'enfance, ont beaucoup de concepts. S'il y a un ensemble de polygones, chaque côté est identifié avec un seul côté du polyèdre, l'identification des parties doit respecter deux conditions:

• de chaque polygone, vous pouvez aller à un polygone ayant l'identification du côté;
• côté identifiable doit avoir la même longueur.

Il est un ensemble de polygones qui répondent à ces conditions, et est appelé un balayage de polyèdre. Chacun de ces organismes a plusieurs d'entre eux. Par exemple, un cube dont il y a 11 pièces.