Linéaire et homogène équation différentielle du premier ordre. exemples de solutions

Je pense que nous devrions commencer par l'histoire de l'outil mathématique glorieuse que les équations différentielles. Comme tout le calcul différentiel et intégral, ces équations ont été inventées par Newton à la fin du 17ème siècle. Il a cru qu'il était sa découverte si importante que même le message chiffré, qui aujourd'hui peut se traduire comme suit: «Toutes les lois de la nature décrit par des équations différentielles » Il peut sembler exagéré, mais il est vrai. Toute loi de la physique, la chimie, la biologie, peut être décrit par ces équations.

Une énorme contribution au développement et à la création de la théorie des équations différentielles ont les mathématiques d'Euler et Lagrange. Déjà au 18ème siècle, ils ont découvert et mis au point ce qui est en train d'étudier les cours universitaires supérieurs.

Une nouvelle étape dans l'étude des équations différentielles a commencé grâce à Anri Puankare. Il a créé une « théorie qualitative des équations différentielles » qui, combinée à la théorie des fonctions de variables complexes ont contribué de manière significative à la base de la topologie – la science de l'espace et de ses propriétés.

Quelles sont les équations différentielles?

Beaucoup de gens ont peur de l'expression « équation différentielle ». Toutefois, dans cet article, nous exposerons en détail l'essence de cet outil mathématique très utile qui est en fait pas aussi compliqué qu'il n'y paraît du titre. Pour commencer à parler d'un premier ordre équation différentielle, vous devez d'abord vous familiariser avec les concepts de base qui sont intrinsèquement liés à cette définition. Et nous allons commencer avec le différentiel.

différentiel

Beaucoup de gens savent ce terme depuis le lycée. Cependant, demeurer encore en détail. Imaginez le graphique de la fonction. On peut l'augmenter dans une mesure telle que l'un de son segment devient une ligne droite. Ça va prendre deux points qui sont infiniment proches les uns des autres. La différence entre les coordonnées (x ou y) est infime. Et il est appelé différentiel et caractères désignent dy (différentiel y) et dx (le différentiel de x). Il est important de comprendre que la différence est pas la valeur ultime, ce qui est le sens et la fonction principale.

Et maintenant, vous devez prendre en compte les éléments suivants, que nous aurons besoin d'expliquer le concept d'équation différentielle. Il – dérivé.

dérivé

Nous devons tous avoir entendu à l'école et cette notion. Ils disent que le dérivé – est le taux de croissance ou une diminution de la fonction. Cependant, cette définition devient plus confuse. Essayons d'expliquer les termes dérivés des différences. Revenons à la fonction d'intervalle infinitésimal avec deux points, qui sont situés à une distance minimale de l'autre. Mais même au-delà de cette fonction de la distance est temps de passer à une certaine valeur. Et de décrire que le changement et arriver à un dérivé qui, autrement, serait écrit comme le rapport entre les écarts: f (x) « = df / dx.

Maintenant, il est nécessaire de prendre en compte les propriétés de base du dérivé. Il y a seulement trois:

1. Dérivé somme ou la différence peut être représentée comme la somme ou la différence des dérivés de: (a + b) '= a' + b 'et (ab)' = a'-b ».
2. La deuxième propriété est liée à la multiplication. Les oeuvres dérivées – est la somme des oeuvres d'une fonction à un autre dérivé: (a * b) '= a' * b + a * b ».
3. La dérivée de la différence peut être écrit sous la forme de l'équation suivante: (a / b) '= (a' * ba * b « ) / b ^2.

Toutes ces fonctionnalités sont utiles pour trouver des solutions aux équations différentielles du premier ordre.

En outre, il y a des dérivées partielles. Supposons que nous ayons une fonction de z, qui dépend des variables x et y. Pour calculer la dérivée partielle de cette fonction, par exemple, en x, nous devons prendre la variable y pour constante et facile à différencier.

intégral

Un autre concept important – intégral. En fait, il est à l'opposé de la dérivée. Intégrales plusieurs types, mais les solutions les plus simples d'équations différentielles, nous avons besoin les plus insignifiants Intégrales indéfinies.

Alors, quel est l'intégrale? Disons que nous avons une relation f de x. Nous prenons de celui-ci et l'intégrale obtenir une fonction F (x) (il est souvent désigné sous le nom de primitive), qui est une dérivée de la fonction d'origine. Par conséquent, F (x) « = f (x). Cela implique aussi que l'intégrale de la dérivée est égale à la fonction d'origine.

Dans la résolution des équations différentielles, il est très important de comprendre le sens et la fonction de l'intégrale, car, très souvent, de les prendre pour trouver des solutions.

Les équations sont différentes en fonction de leur nature. Dans la section suivante, nous examinerons les types de premières équations différentielles d'ordre, puis apprendre à les résoudre.

Les classes d'équations différentielles

« Diffury » divisé par l'ordre des dérivés qui y participent. Ainsi, il y a un premier, deuxième, troisième ou plus d'ordre. Ils peuvent également être divisés en plusieurs classes: ordinaires et partielles.

Dans cet article, nous examinerons les équations différentielles ordinaires du premier ordre. Des exemples et des solutions, nous discutons dans les sections suivantes. Nous considérons que le TAC parce que ce sont les types d'équations les plus courantes. Ordinaire divisé en sous-espèces: les variables séparables, homogènes et hétérogènes. Ensuite, vous apprendrez comment ils diffèrent les uns des autres, et apprendre à les résoudre.

De plus, ces équations peuvent être combinées, de sorte qu'après que nous obtenons un système d'équations différentielles du premier ordre. De tels systèmes, nous examinons aussi et apprendre comment résoudre.

Pourquoi nous considérons que la première commande? Parce qu'il est nécessaire de commencer par un simple et décrire tous associés à des équations différentielles, en un seul article, il est impossible.

Les équations à variables séparables

Ceci est peut-être les plus simples équations différentielles d'ordre. Ce sont des exemples qui peuvent être écrits comme: y « = f (x) * f (y). Pour résoudre cette équation nous avons besoin de la formule de représentation du dérivé comme le rapport des écarts: y « = dy / dx. Avec cela on obtient l'équation: dy / dx = f (x) * f (y). Maintenant, nous pouvons passer à la méthode de résolution des exemples standards: séparer les variables dans les parties, à savoir l'avance rapide toute la variable y dans la partie où il y a dy, et également la variable x … On obtient une équation de la forme: dy / f (y) = f (x) dx, qui est obtenue en prenant les intégrales des deux parties. Ne pas oublier la constante que vous voulez mettre après l'intégration.

La solution de tout « diffura » – est une fonction de x par y (dans notre cas), ou s'il y a une condition numérique, la réponse est un nombre. Examinons un exemple concret toute la durée de la décision:

y « = 2y * sin (x)

Transfert des variables dans différentes directions:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Maintenant, prenez les Intégrales. Chacun d'entre eux se trouvent dans une table spéciale de Intégrales. Et nous obtenons:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Si nécessaire, nous pouvons exprimer le « y » en fonction de « X ». Maintenant, nous pouvons dire que notre équation différentielle est résolu, si non spécifié condition. Peut être spécifié condition, par exemple, y (n / 2) = e. Ensuite, nous allons simplement remplacer la valeur de ces variables dans la décision et trouver la valeur de la constante. Dans notre exemple, il est 1.

Homogène premier équations différentielles d'ordre

Passons maintenant aux parties plus complexes. Homogène premières équations différentielles d'ordre peuvent être écrites sous la forme générale: y « = z (x, y). Il convient de noter que la bonne fonction de deux variables est uniforme, et il ne peut pas être divisé en deux en fonction: z x et z de y. Vérifiez si l'équation est homogène ou non, est assez simple: on fait la substitution x = k * x et y = k * y. Maintenant, nous avons coupé tout k. Si ces lettres sont abandonnées, alors l'équation homogène et peut en toute sécurité procéder à sa solution. À l'avenir, nous disons: le principe de la solution de ces exemples est également très simple.

Nous devons faire la substitution: y = t (x) * x, t – une fonction qui dépend aussi de x. Ensuite, nous pouvons exprimer la dérivée: y '= t' (x) * x + t. Dans tout cela en substituant notre équation originale et en simplifiant, nous avons l'exemple de la séparation des variables t comme x. Résoudre et obtenir la dépendance de t (x). Quand nous avons eu, remplacer simplement notre précédente substitution y = t (x) * x. On obtient alors la dépendance de y sur x.

Pour le rendre plus clair, nous comprendrons un exemple: x * y « = yx * e y / x.

Lors du contrôle du remplacement de tous en baisse. Ainsi, l'équation est vraiment homogène. Maintenant, faire une autre substitution, nous avons parlé: y = t (x) * x et y '= t' (x) * x + t (x). Après la simplification de l'équation suivante: t « (x) * x = -e t. Nous décidons d'obtenir un échantillon avec des variables et séparées , on ^{obtient: e = t ln (C *} x). Nous avons juste besoin de remplacer t par y / x (parce que si y = t * x, alors t = y / x), et nous obtenons la ^{réponse: e -y / x = ln (} x * C).

équation différentielle linéaire du premier ordre

Il est temps d'envisager un autre sujet très vaste. Nous examinerons les équations différentielles hétérogènes de premier ordre. En quoi diffèrent-ils les deux précédents? Avouons-le. Linéaires première des équations différentielles d'ordre sous la forme générale de l'équation peut être écrite ainsi: y « + g (x) * y = z (x). Il convient de préciser que z (x) et g (x) peut être des valeurs constantes.

Voici un exemple: y « – y * x = x ^2.

Il y a deux façons de résoudre, et nous commander Examinons les deux. La première – la méthode de variation des constantes arbitraires.

Pour résoudre l'équation de cette manière, il est nécessaire d'assimiler le premier côté de droite à zéro et résoudre l'équation résultante qui, après le transfert des pièces devient:

y « = y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | x = ^2/2 + C;

y = ^x2 e ^{/ 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Maintenant , il est nécessaire de remplacer la constante C ₁ sur la fonction v (x), que nous trouverons.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Dessiner un dérivé de remplacement:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Et en substituant ces expressions dans l'équation d'origine:

v « * e ^{x2 / 2} – x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Vous pouvez voir que sur le côté gauche des deux termes sont réduits. Si quelques exemples qui ne se produit pas, alors vous avez fait quelque chose de mal. Nous continuons à:

v « * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Maintenant, nous résolvons l'équation habituelle dans laquelle vous voulez séparer les variables:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{– x2 / 2} dx.

Pour supprimer l'intégrale, nous devons appliquer l'intégration par des pièces ici. Cependant, ce n'est pas le sujet de cet article. Si vous êtes intéressé, vous pouvez apprendre sur eux-mêmes pour mener à bien ces actions. Il est pas difficile, et avec assez de compétences et de soins ne sont pas beaucoup de temps.

En se référant à la seconde méthode, la solution des équations inhomogènes: méthode de Bernoulli. Quelle approche est plus rapide et plus facile – il est à vous.

Ainsi, lors de la résolution de cette méthode, nous avons besoin de faire la substitution: y = k * n. Ici, k et n – certaines fonctions en fonction de x. Ensuite, le dérivé ressemblera: y '= k' * n + k * n. Remplacer les deux substitutions dans l'équation:

k '+ k * n * n ' + x * k * n = x ^2.

Groupe jusqu'à:

k '+ k * n * ( n' + x * n) = x ^2.

Maintenant, il est nécessaire d'assimiler à zéro, qui est entre parenthèses. Maintenant, si vous combinez les deux équations résultantes, on obtient un système d'équations différentielles d'ordre à résoudre:

n « + x * n = 0;

k « * n = x ^2.

La première égalité décider comment l'équation habituelle. Pour ce faire, vous devez séparer les variables:

dn / dx = x * v;

dn / n = XDX.

Nous prenons l'intégrale et on obtient: ln (n) = x ^2/2. Ensuite, si nous exprimons n:

e n = ^{x2 / 2.}

remplacer maintenant l'équation résultante dans la deuxième équation:

k « * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Et la transformation, on obtient la même équation que dans la première méthode:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Nous allons également pas discuter des mesures supplémentaires. Il est dit que d'abord des équations différentielles du premier ordre solution entraîne des difficultés considérables. Cependant, une plus grande immersion dans le sujet commence à aller mieux et mieux.

Où sont des équations différentielles?

équations différentielles très actives utilisées en physique, comme presque toutes les lois de base sont écrites sous forme différentielle, et ces formules, que nous voyons – une solution à ces équations. En chimie, ils sont utilisés pour la même raison: les lois de base sont dérivées par eux. En biologie, les équations différentielles sont utilisées pour modéliser le comportement des systèmes, tels que prédateur – proie. Ils peuvent également être utilisés pour créer des modèles de reproduction, par exemple, des colonies de micro-organismes.

Comme les équations différentielles aident dans la vie?

La réponse à cette question est simple: rien. Si vous n'êtes pas un scientifique ou un ingénieur, il est peu probable qu'ils seront utiles. Cependant, pas mal de savoir ce que l'équation différentielle et il est résolu pour le développement global. Et puis la question d'un fils ou d'une fille, « quelle équation différentielle? » ne vous mettez pas dans une impasse. Eh bien, si vous êtes un scientifique ou un ingénieur, alors vous savez l'importance de ce sujet dans toute science. Mais le plus important, maintenant à la question « comment résoudre l'équation différentielle de premier ordre? » vous serez toujours en mesure de donner une réponse. D'accord, il est toujours agréable quand on se rend compte que ce que les gens ont même peur de le découvrir.

Les principaux problèmes de l'étude

Le principal problème dans la compréhension de ce sujet est une mauvaise habitude des fonctions d'intégration et de différenciation. Si vous êtes mal à l'aise ASSUMER dérivés et Intégrales, il vaut probablement plus d'apprendre, d'apprendre différentes méthodes d'intégration et de différenciation, et seulement ensuite procéder à l'étude de la matière qui a été décrit dans l'article.

Certaines personnes sont surpris d'apprendre que dx peut être transféré, comme précédemment (à l'école) ont fait valoir que la fraction dy / dx est indivisible. Ensuite, vous devez lire la documentation sur le dérivé et de comprendre qu'il est l'attitude des quantités infiniment petites, qui peuvent être manipulées dans la résolution des équations.

Beaucoup de gens ne se rendent pas compte immédiatement que la solution d'équations différentielles du premier ordre – ce qui est souvent une fonction ou neberuschiysya intégrale, et cette illusion leur donne beaucoup d'ennuis.

Que peut-on étudié pour mieux comprendre?

Il est préférable de commencer l'immersion plus loin dans le monde du calcul différentiel des manuels spécialisés, par exemple, dans l'analyse mathématique pour les étudiants des spécialités non mathématiques. Vous pouvez ensuite passer à la littérature plus spécialisée.

On dit que, en plus du différentiel, il y a encore des équations intégrales, donc vous aurez toujours quelque chose à atteindre et ce qu'il faut étudier.

conclusion

Nous espérons que, après avoir lu cet article, vous aurez une idée de ce que les équations différentielles et comment les résoudre correctement.

Dans tous les cas, les mathématiques de quelque manière utile pour nous dans la vie. Il développe la logique et l'attention, sans que tout homme, comme sans les mains.