Le paradoxe de Russell: les informations de base, des exemples, la formulation

Russell paradoxe est interdépendant deux antinomie logique.

Deux formes de paradoxe de Russell

La forme la plus fréquemment discuté d'une contradiction dans les ensembles logiques. Une partie de l'ensemble semble être les membres eux-mêmes, et d'autres – non. L'ensemble de tous les ensembles lui-même est un ensemble, il semble donc qu'il se réfère à lui-même. Nul ou vide, cependant, ne devrait pas être membre lui-même. Par conséquent, l'ensemble de tous les ensembles, comme zéro ne sont pas inclus dans lui-même. Le paradoxe se pose lorsque la question de savoir si l'ensemble d'un membre de lui-même. Cela est possible si et seulement si elle est pas.

Un autre paradoxe de la forme est une contradiction en ce qui concerne les propriétés. Certaines propriétés, semble se référer à eux-mêmes, tandis que d'autres ne sont pas. La propriété à la propriété elle-même est une propriété, alors que la propriété soit un chat n'est pas. Pensez à la propriété d'avoir une propriété qui ne lui appartient pas. si elle applique à lui-même? Encore une fois, l'une des hypothèses devrait être le contraire. Le paradoxe a été nommé en l'honneur, qui l'a découvert en 1901 Bertrand Russell (1872-1970).

histoire

Ouverture Russell a eu lieu au cours de son travail sur les « Principes de mathématiques ». Bien qu'il découvre le paradoxe indépendamment, il est évident que d' autres mathématiciens et les développeurs de la théorie des ensembles, dont Ernst Zermelo et David Hilbert, étaient au courant de la première version de contradictions devant lui. Russell, cependant, a été le premier qui a discuté en détail le paradoxe dans ses œuvres publiées, d'abord essayé de formuler des solutions et le premier à apprécier pleinement sa signification. Un chapitre entier des « Principes » a été consacrée à la discussion de cette question, et la demande a été consacrée à la théorie des types, qui Russell a proposé comme solution.

Russell a découvert le « paradoxe du menteur », compte tenu de la théorie des ensembles de Cantor qui dit que le pouvoir de tout ensemble est plus petit que l'ensemble de ses sous-ensembles. Au moins dans le domaine devrait être autant de sous-ensembles comme il y a des éléments, si un sous-ensemble de chaque élément est défini ne contenant que cet élément. En outre, Cantor a prouvé que le nombre d'éléments ne peut être égal au nombre de sous-ensembles. S'il y avait le même nombre, il devrait exister ƒ fonctionnalité qui afficherait des éléments sur leurs sous-ensembles. En même temps, il peut être prouvé que cela est impossible. Certains éléments peuvent être affichés sur les sous-ensembles de la fonction qui les contiennent, tandis que d'autres ne peuvent pas.

Considérons le sous-ensemble d'éléments qui ne font pas partie de leurs images, dans lequel ils affichent ƒ. Il est lui-même un sous-ensemble d'éléments, et par conséquent, la fonction ƒ afficherait sur un élément dans le domaine. Le problème est que la question se pose de savoir si cet élément appartient au sous-ensemble auquel il affiche ƒ. Ceci est seulement possible si elle ne fait pas partie. Le paradoxe de Russell peut être considéré comme un exemple de la même ligne de raisonnement, seulement simplifié. Ce qui est plus – les ensembles ou sous-ensembles de l'ensemble? Il semblerait qu'il y ait plus de jeux, comme tous les sous-ensembles des ensembles eux-mêmes. Mais si le théorème de Cantor est vrai, alors il devrait y avoir plus de sous-ensembles. Russell considère simplement afficher des ensembles sur eux-mêmes et appliquer l'approche kantoriansky compte tenu de l'ensemble de tous ces éléments, en dehors d'un ensemble dans lequel ils sont affichés. Affichage Russell devient l'ensemble de tous les ensembles, non.

erreur Frege

« Le paradoxe du menteur » a eu un impact profond sur le développement historique de la théorie des ensembles. Il a montré que le concept du jeu universel est très problématique. Il a également remis en question l'idée que pour chaque condition définie ou prédicat peut supposer l'existence d'une pluralité de seulement ces choses qui satisfont à cette condition. paradoxe d'option sur les propriétés – une extension naturelle aux ensembles de version – soulevait des doutes sérieux quant à savoir s'il est possible d'argumenter sur l'existence objective d'une propriété ou d'une conformité universelle à chaque déterminée par la condition ou sous-jacente.

Bientôt, les contradictions et les problèmes dans les travaux des logiciens ont été trouvés, des philosophes et des mathématiciens qui ont fait des hypothèses similaires. En 1902, Russell a constaté qu'une variante du paradoxe peut être exprimé dans un système logique, développé dans le volume I des « fondements de l'arithmétique » de Gottlob Frege, l'un des principaux ouvrages sur la logique de la fin du XIXe – début du XXe siècle. Dans la philosophie de Frege beaucoup compris comme un concept « extension » ou « valeur portée ». Les concepts sont les plus proches de ceux des corrélats. Ils devraient exister pour toute condition ou prédicat donné. Ainsi, il existe un concept d'un ensemble, qui ne relève pas de son concept de définition. Il y a aussi une classe définie par ce concept, et il est soumis à la définition de son concept que si elle est pas.

Russell a écrit à Frege sur ce conflit en Juin 1902 La correspondance est devenue l'une des plus excitantes et a parlé dans l'histoire de la logique. Frege a immédiatement reconnu les conséquences désastreuses du paradoxe. Il a noté, cependant, que la version de la controverse sur les propriétés de sa philosophie a été résolue en distinguant entre les concepts de niveaux.

La notion de Frege comprise comme la transition entre les arguments de la fonction à TRUE. Les concepts de premier niveau en prenant comme arguments les objets des concepts de second niveau prennent comme arguments à ces fonctions, et ainsi de suite. Ainsi, le concept ne peut jamais se prendre comme argument, et le paradoxe en termes de propriétés ne peut être formulée. Néanmoins ensembles, l'expansion ou concepts Frege compris comme faisant référence au même type logique que celle de tous les autres objets. Ensuite, pour chaque ensemble il y a une question de savoir si elle relève de la notion de la définir.

Lorsque Frege, Russell a reçu la première lettre, le deuxième volume de « fondements de l'arithmétique » est déjà l'impression terminée. Il a été forcé de préparer rapidement une application qui donne une réponse au paradoxe de Russell. Des exemples Frege contenaient un certain nombre de solutions possibles. Mais il est venu à la conclusion d'affaiblir le concept de jeu d'abstraction dans un système logique.

Dans l'original, il est possible de conclure que l'objet appartient à l'ensemble si et seulement si elle tombe dans le concept, le définit. Le système révisé ne peut conclure que l'objet appartient à l'ensemble si et seulement si elle relève de la notion de définition d'une pluralité, mais pas mis en question. Le paradoxe de Russell se pose.

La solution est cependant pas tout à fait satisfait de Frege. Et ce fut la raison. Quelques années plus tard, la forme plus complexe de la contradiction a été trouvé pour le système révisé. Mais avant même cela est arrivé, Frege abandonné ses décisions et semblent venir à la conclusion que son approche était tout simplement irréalisable, et que la logique devra faire sans aucun des ensembles.

D'autres encore ont été proposées, des solutions alternatives relativement plus de succès. Ceux-ci sont discutés ci-dessous.

La théorie des types

Il a été noté plus haut que Frege était une réponse adéquate aux paradoxes de la théorie des ensembles dans la version formulé pour les propriétés. La réponse de Frege a été précédée par la solution le plus souvent discuté à cette forme de paradoxe. Il est basé sur le fait que les propriétés sont soumis à différents types et quel type de propriété est jamais la même que les éléments auxquels il se réfère.

Ainsi, même pas la question se pose, si la propriété est applicable à lui-même. langage logique, qui sépare les éléments d'une telle hiérarchie, en utilisant la théorie des types. Bien qu'il soit déjà utilisé par Frege, la première fois qu'il est expliqué et justifié Russell dans l'annexe du « principe ». La théorie des types était plus complète que la distinction des niveaux Frege. Elle propriétés partagées ne sont pas seulement différents types de logique, mais également définir. de type théorie pour résoudre la contradiction dans le paradoxe de Russell suit.

Pour être l'adoption adéquate philosophiquement, de la théorie des types de propriétés nécessite le développement de la théorie de la nature des propriétés afin que pourrait expliquer pourquoi ils ne peuvent pas être appliqués à eux-mêmes. À première vue, il est logique de fonder leur propre propriété. La propriété d'être auto-identité, il semblerait, il est aussi une auto-identité. La propriété semble être une belle agréable. De la même façon, apparemment, il semble faux de dire que la propriété d'être un chat est un chat.

Néanmoins, divers penseurs justifient la répartition des différents types. Russell a même donné des explications différentes à différents moments de sa carrière. Pour sa part, la justification de la séparation des différents concepts de niveaux Frege vient de sa théorie des concepts insaturés. Concepts comme fonction, en substance, sont incomplètes. Pour fournir de la valeur, ils ont besoin d'un argument. Vous ne pouvez pas simplement un concept à prédicat le concept du même type, car elle exige toujours son argument. Par exemple, bien qu'il soit possible de prendre la racine carrée de la racine carrée d'un nombre, vous ne pouvez pas utiliser une fonction de racine carrée à la fonction racine carrée et obtenir un résultat.

A propos des propriétés de conservatisme

Une autre solution possible est les propriétés de paradoxe propriétés négation existence dans toutes les conditions données, ou un prédicat bien formé. Bien sûr, si quelqu'un évite les propriétés métaphysiques des deux éléments objectifs et indépendants dans son ensemble, si nous prenons le paradoxe nominalisme peut être évité complètement.

Cependant, pour résoudre l'antinomie ne doit pas être si extrême. Systèmes logiques d'ordre supérieur développés Frege et Russell, contiennent ce qu'on appelle un principe conceptuel, selon lequel chaque formules ouvertes indépendamment de la complexité qui existe dans le cadre d'une propriété ou d'un concept, par exemple, seuls les éléments qui correspondent à la formule. Ils ont appliqué aux attributs de chaque ensemble possible de conditions ou prédicats, peu importe la façon dont ils étaient complexes.

Néanmoins, il était possible de prendre des propriétés de métaphysique plus rigoureux, donnant droit à l'existence objective de propriétés simples, y compris, par exemple, comme la couleur rouge, la fermeté, la bonté et ainsi de suite. D. Vous pouvez même laisser ces propriétés s'appliquent à eux-mêmes, comme la bonté peut être gentil.

Et le même statut pour les attributs complexes peut nier, par exemple, ces « propriétés » comme ayant dix-sept têtes, être écrites sous l'eau et autres. D. Dans ce cas, aucune condition prédéterminée ne répond pas à la propriété, compris comme séparément élément existant, qui a ses propres propriétés. Ainsi, on peut nier l'existence de propriétés simples être-bien-que-non appliquée à soi et éviter le paradoxe en appliquant des propriétés métaphysiques plus conservatrices.

Le paradoxe de Russell: la solution

Au-dessus il a été noté qu'à la fin de sa vie Frege complètement abandonné la logique des ensembles. Ceci, bien sûr, une solution à l'antinomie sous la forme d'ensembles: une simple négation de l'existence de ces éléments dans son ensemble. De plus, il y a d'autres choix populaires, que les bases de sont présentés ci-dessous.

La théorie pour de nombreux types de

Comme mentionné précédemment, Russell a joué pour une théorie plus complète des types, qui partageraient non seulement les propriétés ou concepts à différents types, mais aussi défini. Russell sur une ensemble partagé plusieurs unités séparées, une pluralité d'ensembles d'objets séparés, etc. Les ensembles d'objets n'étaient pas considérés, et plusieurs ensembles – .. ensembles. Beaucoup de ne jamais apprécié le type, vous permet d'avoir en tant que membre lui-même. Par conséquent, il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres de son propre, parce que, pour un ensemble de questions quant à savoir si elle est membre, lui-même est un type de violation. Encore une fois, la question ici est d'expliquer les ensembles de métaphysique pour expliquer les fondements philosophiques de la division en types.

stratification

En 1937, V. V. Kuayn a proposé une solution de rechange, d'une manière similaire à la théorie des types. Les informations de base à ce sujet sont.

La séparation des ensembles et d'autres éléments. Fait pour que l'hypothèse de trouver une pluralité est toujours incorrect ou vide de sens. Ensembles ne peuvent être fournis lors de la définition de leurs conditions ne sont pas un type de violation. Ainsi, pour Quine, l'expression « x est pas membre de x » est la déclaration significative ne signifie pas l'existence de l'ensemble de tous les éléments x satisfaisant à cette condition.

Dans ce système, un ensemble existe pour certains ouverts formule A si et seulement si elle est stratifiée, t. E. Si les variables sont attribués des nombres entiers positifs tels que pour chaque occurrence caractéristique d'une pluralité de précédant variable est affectée unité d'attribution inférieure à la variable, après lui. Le paradoxe de ce blocs Russell, puisque la formule utilisée pour déterminer l'ensemble des problèmes, il y a le même avant et après l'avis d'adhésion variables rendant non stratifiées.

Mais il n'a pas encore de déterminer si le système résultant, qui Quine appelé « nouvelles bases de la logique mathématique » cohérente.

rejet

Une approche totalement différente est prise dans la théorie de Zermelo – Fraenkel (ZF). Ici aussi, fixer une limite sur l'existence d'ensembles. Au lieu de cela, l'approche du « top-down » de Russell et Frege, qui a d'abord pensé que pour tous les concepts, les propriétés ou les conditions peuvent suggérer l'existence de l'ensemble de toutes les choses avec cette propriété ou pour répondre à une telle condition, dans ZF-théorie, tout commence « à partir du bas vers le haut. »

Les éléments individuels de l'ensemble vide et forment un ensemble. Par conséquent, contrairement aux systèmes antérieurs et Russell Frege FIT ne fait pas partie de l'ensemble universel qui comprend tous les éléments et même tous les ensembles. ZF fixe des limites strictes sur l'existence d'ensembles. Peut exister que ceux pour lesquels il est clairement émis l'hypothèse ou qui peuvent être formulées par des processus itératifs et similaires. D.

Puis, au lieu de l'abstraction concept ensemble naïf qui stipule qu'un élément particulier est inclus dans le jeu si et seulement si elle remplit les conditions dans le principe de séparation utilisé DF, séparation ou « tri ». Au lieu de supposer l'existence de l'ensemble de tous les éléments qui sont sans exception satisfaire une certaine condition, pour chaque ensemble existant Aussonderung indique l'existence d'un sous-ensemble de tous les éléments du jeu original qui satisfait la condition.

Puis vient principe abstraction: si l'ensemble A existe, alors, pour tout x en A, x appartient au sous-ensemble A, qui satisfait la condition si et seulement si x satisfait à la condition C. Cette approche résout le paradoxe Russell, puisque nous ne pouvons pas simplement supposer qui est l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes.

Avoir beaucoup de jeux, vous pouvez sélectionner ou diviser en ensembles, qui sont en eux-mêmes, et ceux qui ne sont pas que tel, mais comme il n'y a pas de jeu universel, nous ne sommes pas liés ensemble de tous les ensembles. Sans en supposant que le problème définit la contradiction Russell ne peut pas être prouvée.

d'autres solutions

De plus, il y a eu des extensions ultérieures ou des modifications de ces solutions, comme une théorie de type fourchette de « Principes de mathématiques » « logique mathématique » Quine, d'expansion du système, ainsi que les développements les plus récents dans la théorie des ensembles, fait Bernays, Gödel et von Neumann. La question de savoir si la réponse au paradoxe insoluble Bertrand Russell trouvé, est encore un sujet de débat.