Qu'est-ce que l'arithmétique? théorème fondamental de l'arithmétique. arithmétique binaire

Qu'est-ce que l'arithmétique? Quand l'humanité a commencé à utiliser des numéros et de travailler avec eux? Où sont ses racines de concepts de tous les jours comme des nombres, fractions, soustraction, addition et multiplication, cette personne a fait partie intégrante de sa vie et les perspectives? les esprits grecs admirent ces sciences que les mathématiques, l'arithmétique et de la géométrie, comme une belle symphonie de la logique humaine.

Peut-être que les mathématiques ne sont pas aussi profond que les autres sciences, mais ce qui leur arriverait, les gens oublient les tables de multiplication élémentaires? Familier pensée logique, en utilisant des nombres, des fractions, et d'autres outils pour donner aux gens un moment difficile, et pendant longtemps ne disposait pas de nos ancêtres. En fait, avant le développement de l'arithmétique aucun domaine de la connaissance humaine n'a pas été véritablement scientifique.

Arithmétique – Mathématiques est l'alphabet

Arithmétique – la science des nombres, avec laquelle toute personne commence la connaissance avec le monde fascinant des mathématiques. Pour reprendre les mots de M. V. Lomonosov, arithmétique – c'est la porte de l'apprentissage, ouvrant la voie pour nous Miropoznanie. Mais il a raison, est la connaissance du monde peut être séparé de la connaissance des lettres et des chiffres, des mathématiques et de la parole? Peut-être que dans les vieux jours, mais pas dans le monde moderne, où le développement rapide de la science et de la technologie fait ses propres lois.

Le mot « arithmétique » (Gk. « Arifmos ») d'origine grecque, signifie « nombre ». Il examine le nombre et tout ce qui peut être associé avec eux. Tel est le monde des nombres: diverses opérations sur les nombres, les règles numériques, les tâches qui sont associées à la multiplication, la soustraction, et ainsi de suite ..

Il est généralement admis que la première étape est le calcul des mathématiques et une base solide pour les sections de ses plus complexes, tels que l'algèbre, l'analyse mathématique, mathématiques supérieures et t. D.

L'objet principal de l'arithmétique

La base de l' arithmétique – est un entier, les propriétés et les lois qui sont considérés comme la plus haute arithmétique ou la théorie des nombres. En fait, comment la bonne approche est prise en compte d'une telle petite unité, comme un nombre naturel en fonction de la force du bâtiment – mathématiques.

Par conséquent, la question qui est arithmétique, la réponse est simple: il est la science des nombres. Oui, sur les sept habituels, neuf, et tout de cette communauté diversifiée. Et tout aussi bien, et les versets les plus médiocres ne peuvent pas écrire sans alphabet de base, sans l'arithmétique ne peut être résolu même les tâches de base. Voilà pourquoi toutes les sciences ont progressé seulement après le développement de l'arithmétique et les mathématiques, étant avant tout un ensemble d'hypothèses.

Arithmétique – la science-fantôme

Qu'est-ce que l'arithmétique – sciences naturelles ou un fantôme? En fait, comme les anciens philosophes grecs discutaient, pas de chiffres, pas de chiffres dans la réalité n'existe pas. Il est juste un fantôme, qui est créé dans la pensée humaine lors de la visualisation de l'environnement et de ses processus. En fait, quel est le nombre? Nulle part autour de nous voir ne quelque chose comme ça pourrait être appelé le numéro, plutôt, le nombre – il est un moyen d'explorer le monde de l'esprit humain. Peut-être cette étude, nous avons en eux-mêmes? Philosophes font valoir à ce sujet depuis plusieurs siècles dans une rangée, afin de donner une réponse exhaustive nous ne nous engageons pas. De toute façon, l'arithmétique pourrait si bien prendre leur position dans le monde moderne ne peut être considérée comme socialement adaptée à l'insu de ses fondations.

Comme il y avait un nombre entier positif

Bien sûr, l'objet principal dont fonctionne l'arithmétique, – nombre naturel tel que 1, 2, 3, 4, …, 152 … etc. Arithmétique des nombres naturels est le résultat de la dépense d'objets ordinaires, comme les vaches dans une prairie. Pourtant, la définition de « beaucoup » ou « un peu » quand quelque chose a cessé de tenir les gens, et a dû inventer la technique de comptage plus sophistiqués.

Mais la véritable percée est venue quand l'esprit humain a atteint le point qui peut être un et le même nombre de « deux » pour désigner et 2 kg et 2 briques et 2 parties. Le fait qu'il est nécessaire de faire abstraction des formes, les caractéristiques et la signification des objets, alors nous pouvons produire une action avec ces objets sous la forme d'entiers positifs. Ainsi est née l'arithmétique des nombres, qui est développé et élargi en occupant une position dans la société.

Un tel approfondi le concept de nombre, comme zéro et les nombres négatifs, les fractions, les numéros renvoient aux numéros d'une autre manière, une histoire riche et intéressante du développement.

Arithmétique et Egyptiens pratiques

Deux anciens compagnon de l'homme dans l'étude du monde et la résolution de problèmes quotidiens – cette arithmétique et de la géométrie.

On croit que l'histoire de l'arithmétique a ses origines dans l'Orient ancien: l'Inde, l'Egypte, Babylone et la Chine. Ainsi, le papyrus Rhind origine égyptienne (ainsi nommé parce que le même nom appartenant au propriétaire), datant du XX siècle. BC, ainsi que d'autres données importantes comprend l'expansion d'une fraction de la quantité de fractions ayant des dénominateurs différents et numérateur égal à un.

Par exemple: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Mais quel est le sens d'une telle décomposition complexe? Le fait que l'approche égyptienne ne tolère pas la pensée abstraite sur les chiffres, au contraire, les calculs ont été effectués uniquement à des fins pratiques. Autrement dit, les Égyptiens seront engagés dans cette activité que les calculs, uniquement pour construire la tombe, par exemple. Il était nécessaire de calculer la longueur de la structure à ailettes, et il a fait pour une personne de s'asseoir papyrus. Comme on le voit, les progrès égyptiens dans les calculs a été appelé, assez massif, la construction, plutôt que l'amour de la science.

Pour cette raison, les calculs trouvés sur Papyrus, ne peuvent pas être appelées réflexions sur le sujet des fractions. Très probablement, il est une préparation pratique, ce qui a permis de résoudre d'autres problèmes avec des fractions. Les anciens Egyptiens ne connaissaient pas la table de multiplication, produit un calcul assez longs, répartis en plusieurs sous-tâches. Peut-être est l'un de ces sous-tâches. Il est facile de remarquer que les calculs avec ces blancs est beaucoup de temps et pas très prometteur. Peut-être pour cette raison que nous ne voyons pas une grande contribution au développement des anciennes mathématiques égyptiennes.

Grèce antique et l'arithmétique philosophique

Un grand nombre de connaissances de l'Orient ancien ont été avec succès par les maîtrisaient Grecs anciens, connus pour les fans de réflexion abstraite, abstraite et philosophique. La pratique de leur intérêt pas moins, mais les meilleurs théoriciens et penseurs sont difficiles à trouver. Il était bon pour la science parce que les mathématiques n'est pas possible d'aller en profondeur, sans le déchirer avec la réalité. Bien sûr, il est possible de multiplier les 10 vaches et 100 litres de lait, mais pas être en mesure de se déplacer loin.

Grecs pensée profondément laissé une marque importante dans l'histoire, et leurs œuvres nous sont parvenues:

• Euclide et « éléments ».
• Pythagore.
• Archimedes.
• Eratosthène.
• Zenon.
• Anaxagore.

Et, bien sûr, tourne toute la philosophie des Grecs, et surtout les adeptes des cas Pythagoras étaient tellement passionnés par les chiffres, qui les considéraient comme une harmonie mondiale mystère. Les chiffres ont été étudiés et si une enquête, que certains d'entre eux et leurs couples attribué des propriétés particulières. Par exemple:

• nombres parfaits – ceux qui sont la somme de tous ses diviseurs, sauf le nombre lui-même (6 = 1 + 2 + 3).
• nombres amis – ces nombres, dont l'un est la somme de tous les diviseurs de la seconde et vice-versa (Pythagore savent qu'une seule paire: 220 et 284).

Les Grecs, qui ont cru que la science doit être aimé, de ne pas être avec elle pour l'amour du gain, ont fait de grands progrès, en explorant, en jouant et en ajoutant des chiffres. Il convient de noter que toutes leurs recherches ont été largement utilisés, certains d'entre eux étaient seulement « pour la beauté. »

penseurs orientaux du Moyen Age

De même, au Moyen Age l'arithmétique, il doit son développement aux contemporains de l'est. Les Indiens nous ont donné les chiffres que nous utilisons activement une telle chose comme « zéro », et la variation de position système de calcul, la perception moderne habituelle. De Al-porridge, qui au 15e siècle a travaillé à Samarkand, nous avons hérité des décimales, sans laquelle il est difficile d'imaginer l' arithmétique moderne.

À bien des égards, l'Europe connaît les réalisations de l'Est a été rendue possible grâce au travail du scientifique italien Leonardo Fibonacci, qui a écrit un livre « Liber Abaci », avec des innovations orientales familiarisant. Il est devenu la pierre angulaire du développement de l'algèbre et de l'arithmétique, la recherche et les activités scientifiques en Europe.

arithmétique russe

Enfin, l'arithmétique, a trouvé sa place et enraciné en Europe, a commencé à se répandre sur la terre russe. premier russe arithmétique publié en 1703 – il était un livre sur l'arithmétique Leontiya Magnitskogo. Pendant longtemps, il a été le seul tutoriel en mathématiques. Il contient les premiers moments de l'algèbre et de la géométrie. Les chiffres qui ont été utilisés dans les exemples de premier manuel de l'arithmétique, l'arabe russe. Bien que les chiffres arabes se sont rencontrés avant, dans les gravures datant du 17ème siècle.

Le livre lui-même est décoré avec des images de Archimedes et de Pythagore, et sur la première page – arithmétique d'image en tant que femme. Elle est assise sur le trône, au-dessous il est écrit dans le mot hébreu pour le nom de Dieu, et sur les marches qui mènent à l'autel, est inscrit le mot « division », « augmentation », « addition », et ainsi de suite. D. On ne peut imaginer ce que la valeur trahie ces vérités, qui sont maintenant considérés comme monnaie courante.

Le manuel de 600 pages décrit comme la base de l'addition comme des tables de multiplication et les applications pour les sciences de navigation.

Sans surprise, l'auteur a choisi l'image des penseurs grecs pour son livre, parce qu'il était lui-même captivé par la beauté de l'arithmétique, en disant: « Arithmétique a chislitelnitsa il foire d'art, nezavistnoe … ». Cette approche de l'arithmétique est bien fondée, car elle est son adoption généralisée peut être considéré comme le début du développement rapide de la pensée scientifique en Russie et l'enseignement général.

nombres premiers Uneasy

nombre premier – il est un nombre naturel, qui est seulement 2: 1 diviseurs et lui – même. Tous les autres numéros, à l'exception 1 est appelé composite. Des exemples de nombres premiers: 2, 3, 5, 7, 11, et tous les autres qui ne sont pas des diviseurs, autres que 1 et le nombre lui-même.

En ce qui concerne le numéro 1, il est à une prime – il est convenu qu'il devrait être considéré ni simple, ni composé. Simple à première vue, un simple numéro recèle de nombreux mystères non élucidés en eux-mêmes.

Le théorème d'Euclide dit qu'un nombre infini de nombres premiers, et Ératosthène est venu avec un « tamis » arithmétique spéciale, ce qui élimine les numéros compliqués, ne laissant que simple.

Son essence est de mettre l'accent sur Undelete le premier numéro, et la frappe subséquente à ceux qui sont des multiples de celui-ci. Nous répétons cette procédure plusieurs fois – et d'obtenir un tableau de nombres premiers.

théorème fondamental de l'arithmétique

Parmi les observations sur les nombres premiers doivent mentionner spécialement le théorème de l'arithmétique de base.

théorème arithmétique de base stipule que tout entier supérieur à 1, ou un simple ou il peut être décomposé en un produit de nombres premiers jusqu'à l'ordre des facteurs de répétition, la seule façon.

théorème fondamental de l'arithmétique avérée assez lourde, et la compréhension de c'est comme pas seulement les bases.

À première vue, les nombres premiers – notion élémentaire, mais ce n'est pas. Physique aussi une fois considéré atome élémentaire, jusqu'à ce qu'elle trouve à l'intérieur d'un univers. Dédié un beau nombres premiers mathématicien histoire Don Zagier « Les premiers cinquante millions de nombres premiers. »

De « trois pommes » aux lois déductives

Ce peut vraiment être appelé une base renforcée de toute science – les lois de l'arithmétique. Même enfant, toute la face arithmétique, étudier le nombre de jambes et les bras aux poupées, le nombre de cubes, les pommes et ainsi de suite. D. Donc, nous étudions l'arithmétique, qui progresse ensuite dans des règles plus complexes.

Notre vie nous présente les règles de l'arithmétique, qui étaient pour l'homme commun le plus utile de tout ce que la science donne. L'étude des nombres – il est « Arithmétique-bébé », qui introduit l'homme dans le monde des chiffres que les chiffres dans la petite enfance.

Supérieur Arithmétique – science déductive qui étudie les lois de l'arithmétique. La plupart d'entre eux nous le savons, mais peut-être que nous ne savons pas leur libellé exact.

La loi de l'addition et la multiplication

Tous les deux entiers a et b peuvent être exprimées comme la somme a + b, qui est aussi un nombre naturel. En ce qui concerne l'ajout, les lois suivantes:

• Commutative, qui dit que la permutation des termes place montant ne change pas, ou a + b = b + a.
• Associative que ladite somme ne dépend pas de la méthode de regroupement des termes dans les lieux, ou a + (b + c) = (a + b) + c.

Règles de l'arithmétique, telles que l'addition, – l'un des de base, mais ils sont utilisés toutes les sciences, sans parler de la vie quotidienne.

Tous deux entiers a et b peuvent être exprimées dans le produit ou b * a * b, qui est aussi un nombre naturel. Pour appliquer le produit les mêmes lois commutative et associative à l'ajout de:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Il est intéressant qu'il ya une loi, qui combine l'addition et la multiplication, également connu comme la distribution ou la loi distributive:

a (b + c) = ab ac +

Cette loi nous apprend à travailler avec des supports, en les ouvrant, on peut donc déjà travailler avec des formules plus complexes. Ce sont les lois qui nous mènera à travers le monde pittoresque mais complexe de l'algèbre.

Loi sur l'ordre arithmétique

sur les lois de la logique humaine utilise chaque jour, vérifier sa montre et compter les factures. Et, pourtant, et il devrait être transformé en une langue spécifique.

Si nous avons deux entiers positifs a et b, puis les options suivantes:

• a est égal à b ou a = b;
• un moins de b ou a <b;
• a est supérieur à b, ou a> b.

Sur les trois options ne peuvent tout simplement être un seul. La Loi fondamentale, qui régit la procédure, a déclaré: si a <b et b <c, puis un <c.

Il y a aussi des lois qui lient les actions de l'ordre d'addition et de multiplication: si a <b, alors a + c <b + c et ac <bc.

Les lois de l'arithmétique nous a appris à travailler avec des chiffres, des signes et des supports, tout en tournant une symphonie harmonieuse des nombres.

système de numérotation et nonpositional positionnelle

On peut dire que les chiffres – c'est la langue des mathématiques, de la commodité dépend de beaucoup de choses. Il existe de nombreux systèmes de calcul, qui, comme les alphabets des langues différentes diffèrent.

Considérons le système numérique du point de vue de l'influence de la position sur la valeur quantitative du chiffre à cette position. Par exemple, le système romain n'est pas positionnel, chaque numéro étant codé par un ensemble spécifique de symboles spéciaux: I / V / X / L / C / D / M. Ils sont égaux au 1/5/10/50/100/500 / 1000. Dans un tel système, la figure ne change pas sa définition quantitative, en fonction de ce qu'elle représente: la première, la seconde, etc. Pour obtenir d'autres nombres, vous devez ajouter les bases. Par exemple:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Plus familier nous, le système de numéros utilisant des chiffres arabes est positionnel. Dans un tel système, le numéro numérique détermine le nombre de chiffres, par exemple, les numéros à trois chiffres: 333, 567, etc. Le poids de n'importe quel chiffre dépend de la position sur laquelle se trouve ce ou tel chiffre, par exemple le numéro 8 dans la deuxième position a une valeur de 80. Ceci est caractéristique du système décimal, il existe d'autres systèmes de positionnement, par exemple binaires.

Arithmétique binaire

Nous connaissons le système de calcul décimal, composé de chiffres à un seul chiffre et de chiffres à plusieurs chiffres. Le chiffre sur la gauche dans un nombre à plusieurs chiffres est dix fois plus important que celui de droite. Donc, nous avions l'habitude de lire 2, 17, 467, etc. Une logique et une approche complètement différentes pour la section, appelée «arithmétique binaire». Ce n'est pas surprenant, car l'arithmétique binaire n'est pas créée pour la logique humaine, mais pour l'ordinateur. Si l'arithmétique des nombres s'est produite à partir du comptage des objets, qui plus tard extrait des propriétés de l'objet à l'arithmétique "nu", cela ne fonctionne pas avec l'ordinateur. Pour pouvoir partager leurs connaissances avec les ordinateurs, une personne devait inventer un tel modèle de calcul.

L'arithmétique binaire fonctionne avec un alphabet binaire, qui ne comprend que 0 et 1. Et l'utilisation de cet alphabet s'appelle le système binaire du calcul.

La différence entre l'arithmétique binaire et la décimale est que l'importance de la position à gauche n'est plus 10, mais 2 fois. Les nombres binaires ont la forme 111, 1001, etc. Comment comprendre ces nombres? Alors, considérez le numéro 1100:

1. Le premier chiffre de gauche est 1 * 8 = 8, en rappelant que le quatrième chiffre, et par conséquent, il doit être multiplié par 2, on obtient la position 8.
2. Le deuxième chiffre est 1 * 4 = 4 (position 4).
3. Le troisième chiffre est 0 * 2 = 0 (position 2).
4. Le quatrième chiffre est 0 * 1 = 0 (position 1).
5. Donc, notre nombre est 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

C'est-à-dire lorsque vous passez à un nouveau chiffre sur la gauche, sa signification dans le système binaire est multipliée par 2, et la décimale par 10. Ce système a un inconvénient: il s'agit d'une croissance de chiffres trop importante, nécessaire pour écrire des chiffres. Des exemples de représentation de nombres décimaux sous forme de nombres à deux chiffres peuvent être trouvés dans le tableau suivant.

Les nombres décimaux sous forme binaire sont indiqués ci-dessous.

On utilise également les systèmes octal et hexadécimaux du calcul.

Cette arithmétique mystérieuse

Qu'est-ce que l'arithmétique, deux fois deux ou des mystères inconnus des nombres? Comme vous pouvez le voir, l'arithmétique peut sembler simple à première vue, mais sa facilité évidente est trompeuse. Il peut être étudié et les enfants ensemble avec la tante Sova de la bande dessinée "Arithmétique-bébé", et vous pouvez vous immerger dans une recherche profondément scientifique d'ordre quasi philosophique. Dans l'histoire, elle est passée du compte d'objets au culte de la beauté des nombres. Une seule chose est certaine: avec l'établissement des postulats fondamentaux de l'arithmétique, toute la science peut compter sur son épaule forte.