La règle de Cramer et son application

La règle de Cramer – est l' une des méthodes précises pour la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires (Slough). Sa précision en raison de l'utilisation des déterminants de la matrice du système, ainsi que certaines des restrictions imposées à la preuve du théorème.

Un système d'équations algébriques linéaires avec des coefficients appartenant à, par exemple, une pluralité de R – nombres réels d'inconnues x1, x2, …, xn est un ensemble d'expressions

AI2 x1 + x2 + ai2 … ain xn = bi avec i = 1, 2, …, m (1)

où aij, bi – nombres réels. Chacune de ces expressions est appelée une équation linéaire, aij – coefficients des inconnues, bi – coefficients indépendants des équations.

solution de (1) fait référence à vecteur de dimension n x ° = (x1 °, x2 °, …, xn °), au cours de laquelle la substitution dans le système pour les inconnues x1, x2, …, xn, chacune des lignes dans le système devient meilleure équation .

Le système est appelé cohérente si elle a au moins une solution, et incohérente, si elle coïncide avec l'ensemble des solutions de l'ensemble vide.

Il faut se rappeler que pour trouver des solutions aux systèmes d'équations linéaires en utilisant la méthode de Cramer, les systèmes de matrice doivent être carrée, ce qui signifie essentiellement le même nombre d'inconnues et équations du système.

Donc, pour utiliser la méthode de Cramer, vous devez au moins savoir ce que la matrice est un système d'équations algébriques linéaires, et il est délivré. Et d'autre part, de comprendre ce qu'on appelle le facteur déterminant de la matrice et ses propres compétences de calcul.

Supposons que cette connaissance que vous possédez. Magnifique! Ensuite, vous devez simplement mémoriser des formules qui déterminent la méthode Kramer. Pour simplifier la mémorisation utiliser la notation suivante:

• Det – le principal déterminant de la matrice du système;

• deti – est le déterminant de la matrice obtenue à partir de la matrice primaire du système en remplaçant i-ième colonne de la matrice à un vecteur de colonne dont les éléments sont les côtés droit d'équations algébriques linéaires;

• n – le nombre d'inconnues et équations du système.

Ensuite, le calcul de la règle de Cramer i-xi e composante (i = 1, .. n) n dimensions vecteur x peut être écrit

xi = deti / Det, (2).

Dans ce cas, Det strictement différent de zéro.

L'unicité de la solution du système lorsqu'il est assuré conjointement par la condition d'inégalité du déterminant principal du système à zéro. Dans le cas contraire, si la somme des (xi), au carré, strictement positif, alors SLAE une matrice carrée est infaisable. Cela peut se produire notamment lorsque au moins l'un des non nulle deti.

Exemple 1. Pour résoudre le système LAU en trois dimensions en utilisant la formule de Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 – x2 + x3 = 10.

Décision. Nous écrivons la matrice de la ligne du système en ligne, où Ai – est le i-ième ligne de la matrice.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Colonne coefficients libres b = (31 octobre 29).

Le système principal est le déterminant Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a32 a23 – a33 a21 a12 = 1 – 20 + 12 – 12 + 2 – 10 = -27.

Pour calculer la permutation DET1 utilisant a11 = b1, b2 = a21, a31 = b3. puis
DET1 = b1 A22 A33 + a12 a23 b3 + A31 b2 a32 – a13 a22 b3 – b1 A32 A23 – A33 b2 = a12 … = -81.

De même, pour calculer det2 substitution d'utilisation a12 = b1, b2 = a22, a32 = b3, et, par conséquent, pour calculer DET3 – a13 = b1, b2 = a23, a33 = b3.
Ensuite, vous pouvez vérifier que det2 = -108, et DET3 = – 135.
Selon les formules Cramer trouver x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Réponse: x ° = (3,4,5).

En se fondant sur l'applicabilité de cette règle, la méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires Kramer peut être utilisé indirectement, par exemple, d'enquêter sur le système sur le nombre possible de solutions en fonction de la valeur d'un paramètre k.

Exemple 2. Pour déterminer à quelles valeurs du paramètre k inégalité | kx – y – 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 a une solution unique .

Décision.
Cette inégalité, par la définition de la fonction du module peut être effectué que si les deux expressions sont égales à zéro simultanément. Par conséquent, ce problème est réduit à trouver la solution d'équations algébriques linéaires

kx – y = 4,
x + ky = -4.

La solution à ce système que si elle est le principal déterminant de la
Det = k ^ {2} + 1 est non nul. Il est clair que cette condition est satisfaite pour toutes les valeurs réelles du paramètre k.

Réponse: pour toutes les valeurs réelles du paramètre k.

Les objectifs de ce type peuvent également être réduits de nombreux problèmes pratiques dans le domaine des mathématiques, la physique ou de la chimie.