algèbre booléenne. algèbre de la logique. Les éléments de la logique mathématique

Dans le monde d'aujourd'hui, nous utilisons de plus en une variété de machines et de gadgets. Et non seulement quand il est nécessaire d'appliquer la force surhumaine littéralement: déplacer la charge pour le porter à la hauteur, creuser la tranchée longue et profonde, etc. Les voitures d'aujourd'hui robots recueillent, la nourriture est cuite Multivarki et calculs arithmétiques élémentaires produisent les calculatrices … De plus en plus souvent, nous entendons l'expression « algèbre de Boole ». Peut-être que le temps est venu de comprendre le rôle des êtres humains dans la création de robots et machines la capacité de résoudre non seulement mathématique, mais aussi des problèmes logiques.

logique

Dans la logique grecque – un système ordonné de la pensée qui crée la relation entre les conditions données et vous permet de tirer des conclusions fondées sur des hypothèses et des estimations. Très souvent, nous demandons l'autre: « Il est logique de » La réponse confirme nos hypothèses ou critique le train de la pensée. Mais le processus ne s'arrête pas: nous continuons à parler.

Parfois, le nombre de conditions (entrée) est si grande, et la relation entre eux est si confuse et complexe que le cerveau humain ne parvient pas à « digérer » tout à la fois. Vous devrez peut-être plus d'un mois (semaine, année) pour la compréhension de ce qui se passe. Mais la vie moderne ne nous donne pas ces intervalles de temps pour prendre des décisions. Et nous avons recours à l'aide d'ordinateurs. Et il est ici qu'il ya une algèbre et la logique, avec ses lois et propriétés. Après avoir téléchargé toutes les données d'origine, nous permettons à l'ordinateur de reconnaître toutes les relations, pour éliminer les contradictions et de trouver une solution satisfaisante.

Mathématiques et logique

Célèbres Gotfrid Vilgelm Leybnits formulé le concept de « logique mathématique », les tâches étaient faciles à comprendre que d'un petit cercle de chercheurs. Il est particulièrement intéressant la direction n'a pas causé, et au milieu du XIXe siècle de la logique mathématique connue par quelques-uns.

Le grand intérêt de la communauté scientifique a provoqué un différend dans lequel l'Anglais Dzhordzh Bul a déclaré son intention d'établir une branche des mathématiques, de ne pas avoir absolument aucune utilité pratique. Comme nous le savons de l'histoire, à ce moment activement au développement de la production industrielle, nous avons développé toutes sortes de machines auxiliaires, t. E. Toutes les découvertes scientifiques ont eu une orientation pratique.

À l'avenir, nous disons qu'une algèbre de Boole – le plus utilisé dans le monde aujourd'hui partie des mathématiques. Donc, votre argument de Buhl perdu.

Dzhordzh Bul

La personnalité de l'auteur mérite une attention particulière. Même compte tenu du fait que, dans le passé les gens ont grandi devant nous, encore il convient de noter que, dans les 16 ans de John. Buhl a enseigné à l'école du village, et à 20 ans a ouvert sa propre école à Lincoln. Mathématicien parfaitement maîtrisé cinq langues étrangères, et dans son temps libre, lisait les œuvres de Newton et Lagrange. Et tout cela – le fils d'un travailleur ordinaire!

En 1839, Buhl a envoyé ses premiers articles scientifiques dans le Cambridge Mathematical Journal. Scientifique a eu 24 ans. Le travail de Boole est membres si intéressés de la Royal Society, en 1844 , il a reçu une médaille pour sa contribution au développement de l' analyse mathématique. Quelques articles publiés dans lequel les éléments de la logique mathématique, les mathématiques ont permis aux jeunes de prendre le poste de professeur au Collège du comté de Cork ont été décrites. Rappelons que l'éducation très Boole était pas.

idée

En principe, l'algèbre de Boole est très simple. Il y a des déclarations (logiques expressions) que, du point de vue des mathématiques, ne peuvent être définis en deux mots: « vrai » ou « faux ». Par exemple, les arbres en fleurs de printemps – la vérité, en été NEIGES – un mensonge. La beauté des mathématiques est qu'il est pas strictement nécessaire d'utiliser des chiffres. Pour les jugements d'algèbre s'adapter tout à fait des déclarations ayant un sens unique.

Ainsi, l'algèbre de la logique peut être utilisé littéralement partout: dans la planification et de l'écriture, l'analyse des informations contradictoires sur les événements et la détermination de la séquence d'actions. La chose la plus importante – pour se rendre compte que peu importe la façon dont nous déterminons la vérité ou la fausseté des déclarations. A partir de ces « comment » et « pourquoi » vous devez ignorer. Ce qui importe est seulement une déclaration de fait: la vérité est un mensonge.

Bien sûr, la programmation des fonctions les plus importantes de l'algèbre de la logique qui sont enregistrées avec des signes et des symboles appropriés. Et les apprendre – cela signifie d'apprendre une nouvelle langue étrangère. Rien est impossible.

Concepts de base et définitions

Sans entrer dans la profondeur, nous traitons avec la terminologie. Ainsi, l'algèbre de Boole suppose:

• déclarations;
• des opérations logiques;
• fonctions et lois.

Déclarations – une expression positive qui peut être interprété à deux valeurs. Ils sont écrits sous forme de nombres (5> 3) ou formulé des mots familiers (éléphant – le plus grand mammifère). Dans ce cas, l'expression « le cou de la girafe est pas » a aussi le droit d'exister, que l'algèbre de Boole définir comme « un mensonge ».

Toutes les déclarations doivent être sans ambiguïté, mais ils peuvent être simples ou composés. Récente utilisation du faisceau logique. E. Dans les états d'algèbre composé des arrêts formés par l'addition d'opérations logiques élémentaires.

les opérations de l'algèbre de Boole

On se souvient déjà que les opérations dans l'algèbre des jugements – logique. Tout comme l'algèbre des nombres en utilisant les opérations arithmétiques pour additionner, soustraire, ou comparer des chiffres, des éléments logiques mathématiques permettent de faire des déclarations complexes, de refuser ou de calculer le résultat final.

opérations logiques pour la formalisation et la simplicité exprimée par la formule familière en arithmétique. Propriétés des équations d'algèbre booléennes permettent d'enregistrer et de calculer l'inconnu. Les opérations logiques sont généralement enregistrées par la table de vérité. Ses éléments définissent les colonnes et le fonctionnement de l'informatique qui est effectuée sur eux, et les lignes le résultat des calculs.

la logique de base de l'action

Le plus courant dans les opérations de l'algèbre de Boole sont la négation (NOT) et la logique AND et OR. Il est donc possible de décrire pratiquement toutes les étapes de jugements d'algèbre. Nous avons étudié en détail chacune des trois opérations.

La négation (non) est appliqué à un seul élément (opérande). Par conséquent, l'opération est appelée une négation unaire. Pour enregistrer le concept de « non A » à l'aide de ces symboles: ¬a, A ou A !. Sous forme de tableau, il ressemble à ceci:

La fonction de déni typique d'une telle déclaration: si A est vrai, alors A – est faux. Par exemple, la Lune tourne autour de la Terre – la vérité; Terre tourne autour de la Lune – un mensonge.

la multiplication et l'addition logique

ET logique opération est appelée une conjonction. Qu'est-ce que cela signifie? Tout d'abord, qu'il peut être appliqué à deux opérandes, à savoir I – .. Fonctionnement binaire. En second lieu, il est seulement dans le cas de la vérité des deux opérandes (A et B) est vrai et l'expression elle-même. Le proverbe: « La patience et un peu d'effort » implique que seulement deux facteurs peuvent aider une personne à faire face aux difficultés.

symboles sont utilisés pour l'enregistrement: A∧B, A⋅B ou A && B.

Liaison est similaire à la multiplication en arithmétique. Parfois, et dire – la multiplication logique. Si vous multipliez les éléments des lignes de la table, nous obtenons un résultat similaire à la pensée logique.

Disjonction est une opération OU logique. Il est vrai que si au moins une des affirmations suivantes est vraie (A ou B). Il est écrit comme ceci: A∨B, A + B ou A || B. la table de vérité pour ces opérations sont:

DISJONCTION addition arithmétique similaire. opération d'addition logique ne dispose que d'une restriction: 1 + 1 = 1. Mais nous nous souvenons que, dans un format numérique est limitée à la logique mathématique 0 et 1 (où 1 – la vérité, 0 – false). Par exemple, la mention « dans le musée, vous pouvez voir un chef-d'œuvre ou de trouver une bonne compagnie » signifie ce que vous pouvez voir des œuvres d'art, et il est possible de rencontrer une personne intéressante. En même temps, ne pas exclure la possibilité de la réalisation simultanée des deux événements.

Fonctions et lois

Donc, nous savons déjà ce que l'opération logique en utilisant l'algèbre booléenne. Les fonctions décrivent toutes les propriétés des éléments de la logique mathématique, et nous permettent de simplifier les déclarations de composés complexes. La propriété de rejet semble la plus claire et simple des opérations de dérivés. Par dérivés, on entend XOR, implication et d'équivalence. Comme nous l'avons lu que les opérations de base, et la propriété est également à seulement les considérer.

Associativité signifie que dans les déclarations telles que « A et B, et la liste de séquence des opérandes B n'a pas d' importance. La formule est rédigée comme suit:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Comme vous pouvez le voir, ce n'est pas unique à la conjonction mais une disjonction.

Commutativité fait valoir que le résultat de la conjonction ou disjonction ne dépend pas de la question a été examinée dès le début:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity permet de divulguer entre parenthèses dans des expressions logiques complexes. Les règles sont similaires à la parenthèse d'ouverture dans la multiplication et l'addition en algèbre:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

propriétés de l' unité et de zéro, ce qui peut être l' un des opérandes sont également similaires à la multiplication algébrique par zéro ou un, et l' ajout d'une unité:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotence nous dit que si deux relativement opérandes égales le résultat de l'opération est le même, vous pouvez « jeter » les excès opérandes de raisonnement compliquée. Et les opérations de conjonction et disjonctions sont idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

L' acquisition nous permet également de simplifier l'équation. L'absorption indique que lorsque l'expression est appliquée à un opérande, une autre opération avec le même élément de l'opérande de résultat est opération absorbant.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

séquence d'opérations

La séquence des opérations est d'une grande importance. En fait, comme pour l'algèbre, il y a une fonction de priorité qui utilise une algèbre booléenne. Les formules peuvent être simplifiées que sous réserve de l'importance des opérations. Classement des plus importants pour négligeables, on obtient la séquence suivante:

1. Le refus.

2. Conjonction.

3. La disjonction, XOR.

4. L'implication, l'équivalence.

Comme vous pouvez le voir, seule la négation de la conjonction et n'ont pas la même priorité. Une priorité de la disjonction et XOR sont égaux, ainsi que les priorités d'implication et de l'équivalence.

Fonctions d'implication et d'équivalence

Comme nous l'avons dit, en plus des opérations logiques de base, la logique mathématique et la théorie des algorithmes utilisant des dérivés. Il est le plus souvent l'implication et de l'équivalence.

L'implication ou conséquence logique – cette déclaration, dans laquelle une action est une condition, et l'autre – le résultat de sa mise en œuvre. En d'autres termes, cette proposition sous prétexte de « si … alors ». « Après le dîner, vient le calcul. » E. Pour la conduite à être serré sur la colline traîneau. S'il n'y a pas envie de se déplacer vers le bas de la montagne, puis faites glisser le traîneau n'est pas nécessaire. Est écrit ceci: A → B ou A⇒B.

Equivalence implique que l'effet net se produit uniquement lorsque les deux opérandes sont vraies. Par exemple, la nuit cède la place à jour alors (et seulement alors), quand le soleil se lève sur l'horizon. Dans le langage de la logique mathématique de cette déclaration est écrite comme A≡B, A⇔B, A == B.

D'autres lois de l'algèbre de Boole

jugement Algèbre développe, et de nombreux scientifiques intéressés à formuler de nouvelles lois. Les plus célèbres sont considérés comme mathématicien écossais O. postule De Morgan. Il a remarqué et a donné une définition de propriétés telles que la négation proche, plus et double négatif.

Fermer le déni suggère que , avant la parenthèse ne peut nier: non (A ou B) = non A ou B. PAS

Lorsque l'opérande est refusé, quelle que soit sa valeur, dire au sujet de plus:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Et enfin, la double négation se compense. -à-dire avant soit la négation opérande disparaît ou reste seul.

Comment résoudre les tests

La logique implique des équations prédéterminées de simplification. Tout comme dans l'algèbre de Lie, il est nécessaire de faciliter au maximum la première condition (pour se débarrasser des opérations d'entrée compliquées, et avec eux), puis commencer à chercher une réponse correcte.

Que faire pour simplifier? Convertir tous les dérivés dans une opération simple. découvrir ensuite tous les supports (ou vice-versa, pour que les supports pour réduire cet élément). L'étape suivante consiste à utiliser les propriétés de l'algèbre de Boole dans la pratique (propriétés d'absorption zéro et un, et t.).

En fin de compte, l'équation devrait se composer d'un nombre minimum d'inconnues, combinée à des opérations simples. La meilleure façon de rechercher une solution, si vous faites un grand nombre de négatifs proches. Ensuite, la réponse apparaîtra comme par lui-même.